Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $G$ ein Monoid, dann ist

R[G]:=\{\alpha \colon G\to R{\ {\big |}\ }\alpha (x)=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}x\}\,

mit der Addition

(\alpha +\beta )(x):=\alpha (x)+\beta (x)

und der Faltung

(\alpha \beta )(z):=\sum _{xy=z}{\alpha (x)\beta (y)}

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a\cdot x$ oder einfach $ax$ für die Abbildung $\alpha \in R[G]$ , die an der Stelle $x$ den Wert $a$ und ansonsten $0$ annimmt. Beispielsweise gilt dann

(a\cdot x)(b\cdot y)=(ab)\cdot (xy)\quad {\text{für }}a,b\in R{\text{ und }}x,y\in G.

$R[G]$ besitzt ein Einselement, nämlich $1\cdot e$ , wobei $1$ das Einselement von $R$ und $e$ das Neutralelement von $G$ ist.

Ist $G$ eine Gruppe, so heißt $R[G]$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise $RG$ ist üblich.

$R[G]$ wird zur $R$ -Algebra via $r\sum _{i}r_{i}g_{i}:=\sum _{i}rr_{i}g_{i}$

Eigenschaften

$R[G]$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn $G$ als Monoid kommutativ ist oder $R$ der Nullring ist.
Jedes Element $\alpha \in R[G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $\alpha =\sum _{x\in G}a_{x}\cdot x$ mit $a_{x}:=\alpha (x)$
Falls $R$ nicht der Nullring ist, sind $R$ und $G$ auf natürliche Weise in $R[G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen $f_{0}\colon R\to R[G],~f_{0}(r)=r\cdot e$ und $f_{1}\colon G\to R[G],~f_{1}(x)=1\cdot x$ , wobei $1\cdot x$ wie oben definiert ist.
Falls $R$ der Nullring ist, dann ist $R[G]$ isomorph zum Nullring
Falls $G$ ein Monoid ist, $A,B$ kommutative Ringe und $f\colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h\colon A[G]\to B[G]$ . sodass $h\left(\sum _{x\in G}a_{x}x\right)=\sum _{x\in G}f(a_{x})x$

Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien $G$ und $R$ wie oben definiert. Es bezeichne $\mathbf {Mon}$ die Kategorie der Monoide und $\mathbf {Alg_{R}}$ die Kategorie der (assoziativen) $R$ -Algebren. Sei $U\colon \mathbf {Alg_{R}} \to \mathbf {Mon}$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder $R$ -Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung $\phi \colon G\to U(R[G]),g\mapsto 1g$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus $f\colon G\to U(A)$ in das multiplikative Monoid einer $R$ -Algebra $A$ haben, dann existiert genau ein $R$ -Algebra-Homomorphismus ${\bar {f}}\colon R[G]\to A$ , so dass $U({\bar {f}})\circ \phi =f$ .

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht ${\bar {f}}$ wie folgt aus: ${\bar {f}}\left(\sum _{i}r_{i}g_{i}\right)=\sum _{i}r_{i}f(g_{i})$ .

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über $R$ zuordnet, mit $F$ bezeichnen, ist also $F$ linksadjungiert zu $U$ . So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele

$R[\mathbb {N} _{0}]$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über $R$ .
Ist allgemeiner $G$ ein freies kommutatives Monoid in $n$ Erzeugern, so ist $R[G]$ isomorph zum Polynomring in $n$ Unbestimmten über $R$ .

Spezialfälle

Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $\mathbb {C} [G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$ . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei $\mu$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$ , dann bildet der Raum $L^{1}(G,\mu )$ mit der Faltung