Harnack-Ungleichung

Ungleichungen in der Mathematik

In der Mathematik geben Harnack-Ungleichungen Abschätzungen für die oberen Schranken von Lösungen verschiedener Differentialgleichungen. Im klassischen Fall der Wärmeleitungsgleichung beschränken sie die Diffusion der Wärme. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Axel Harnack.

Klassische Harnack-Ungleichung

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Es sei   eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

 ,

wobei   den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit   bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von   abhängende Konstante  , so dass

 

für alle   gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante   in Abhängigkeit von der Geometrie von   ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen

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Insbesondere gilt   für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen  .

Beispiel

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Sei   der Ball mit Radius   und Mittelpunkt   im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

 

die Ungleichung

 

mit   für alle  .

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für   mit  .

Differentielle Harnack-Ungleichung

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Sei   eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung und konvexem Rand, dann gilt für jede positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung

 

Aus dieser Ungleichung kann man häufig optimale Konstanten für die klassische Harnack-Ungleichung herleiten.

Literatur

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