Henselsches Lemma

mathematischer Satz

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.[1] Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf [2].

Formulierung

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Es sei   ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring   und Restklassenkörper  . Ist nun   ein Polynom, dessen Reduktion   das Produkt zweier teilerfremder Polynome   ist, so gibt es Polynome  , so dass   gilt und   bzw.   die Reduktion von   bzw.   ist.

Beispiele

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Für eine Primzahl   sei   der Körper der  -adischen Zahlen,   und  . Das Polynom   zerfällt über   in Linearfaktoren
 .
Es gibt also Polynome  , so dass
 
gilt. Die Polynome   haben notwendigerweise die Form   mit  , man kann also   annehmen, d. h. es gibt  , so dass
 
gilt. Die   sind die  -ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass  .
  • Ist die Primzahl  , dann gibt es nach dem Obigen ein   mit  .
Denn unter den  -ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit   bezeichnet, die die zyklische Gruppe der  -ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit   ergibt sich  .
  • Im Körper   der  -adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und   kann nicht angeordnet werden.
Zwei Fälle sind zu unterscheiden:
  1.  : Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über   das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass  . Sei nämlich   mit  . Für   sei nun   derart, dass  . Da   durch 2 teilbar ist, können wir
         
    bilden. Dann ist
         .
    Somit gibt es eine in   konvergente Folge   mit  . Die Summe von 5 Quadraten   verschwindet.
  2.  : Mit   ist wegen
         
    die Zahl   quadratischer Rest in   Die Folge   lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element   entwickeln, für das   gilt. Man nehme nur
         
    Im Ergebnis verschwindet die Summe der   Quadrate  
  • Es seien   wie oben, aber  . Dann ist   mit Faktoren  , die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring

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Die Voraussetzung, dass   vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper   beziehungsweise Ringe  , in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum

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Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms  , genauer das Verhalten der Nullstellen modulo   des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo   und diese werden mit ihren Hebungen modulo   verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Nullstellen und ihre Hebungen

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Sei   ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei   die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei  . Ist

 ,

so sagen wir,   ist eine Nullstelle von f(X) in   oder modulo  .

Sei   eine Nullstelle von   modulo  . Sei   . Ist   eine Nullstelle von f(X) modulo   und ist

  ,

dann sagen wir, dass   eine Nullstelle modulo   ist, die die Nullstelle a modulo   hebt.

Beschreibung des Hebungsbaumes

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In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in   eingetragen, wobei   die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem   wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene ( ) werden alle Nullstellen des Polynoms in   eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall   an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene ( ) werden alle Nullstellen des Polynoms in   eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall   an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in  , so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene ( ) werden alle Nullstellen des Polynoms in   eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall   an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in  , so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen  .

Beispiel

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Sei das Polynom

 

gegeben. Sei   prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

 
Beispiel zu dem Polynom  

In der ersten Ebene ( ) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall  . In der zweiten Ebene ( ) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall   vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene ( ) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall  . Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle   in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle   aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

Literatur

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  • K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908.
  • Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
  • Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

Einzelnachweise

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  1. David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.
  2. F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.