Hermitesches Polynom
Die Hermiteschen Polynome (nach Charles Hermite) sind Polynome mit folgenden äquivalenten Darstellungen:
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Mplwp_hermiteH04.svg/300px-Mplwp_hermiteH04.svg.png)
bzw.
Die Hermiteschen Polynome (mit einem festen ) sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung, einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
Explizite Darstellung
BearbeitenAus der ersten Darstellung erhält man mit der Formel von Faà di Bruno die explizite Darstellung
also
Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen :
Da bei jedem Iterationsschritt ein hinzumultipliziert wird, sieht man schnell, dass ein Polynom von Grade ist. Der Koeffizient der höchsten Potenz ist . Für gerade treten ausschließlich gerade Potenzen von auf, entsprechend für ungerade nur ungerade Potenzen, was sich mathematisch durch die Identität
ausdrücken lässt.
Die rekursive Darstellung der o. g. Hermiteschen Polynome lässt sich durch die einfache Substitution auch wie folgt schreiben:
Orthogonalität
BearbeitenDie Hermiteschen Polynome erfüllen bezüglich der Gewichtsfunktion die Orthogonalitätsrelation
Das heißt, dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden können.
Erzeugende
BearbeitenEine erzeugende Funktion für die Hermite-Polynome ist
- .
Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome
BearbeitenEine andere Definitionsmöglichkeit der Hermiteschen Polynome (Statistiker-Konvention) ist
Sie sind bezüglich der Gewichtsfunktion orthogonal
und erfüllen die Differentialgleichung
Sie lassen sich rekursiv durch
bestimmen.
Binomischer Lehrsatz
BearbeitenFür die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel, die eine ähnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz. Für ist
Index mit negativem Wert
BearbeitenDie Ableitung der komplementären Fehlerfunktion ist
- .
Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermaßen geschrieben werden:[1]
- ,
sodass man für findet:
- .
Die Funktionen höherer Indizes berechnen sich als:
- oder rekursiv mit .
Die so erhaltenen Funktionen genügen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung.
Sie lauten:
Anwendungen
BearbeitenIhre Bedeutung erhalten die Hermite-Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik. Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Lösungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen, die man durch Multiplikation mit der gaußschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhält.
Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite-Elemente-Methode als Formfunktionen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht-zentralen Studentschen t-Verteilung lässt sich ausdrücken mittels Hermitescher Polynomfunktionen, deren Index negative Werte hat.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- I.N. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main / Thun 2001, ISBN 3-8171-2005-2
- Milton Abramowitz, Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
- Murray R. Spiegel: Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. McGraw-Hill
Weblinks
Bearbeiten- Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. MathWorld.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Eric W. Weisstein: Hermite Polynomial. In: MathWorld (englisch).