Hypergeometrische Differentialgleichung
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Die hypergeometrische Funktion
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
a
+
k
)
Γ
(
b
+
k
)
Γ
(
c
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
c
+
k
)
z
k
k
!
{\displaystyle \textstyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+k)\,\Gamma (b+k)\,\Gamma (c)}{\Gamma (a)\,\Gamma (b)\,\Gamma (c+k)}}{\frac {z^{k}}{k!}}}
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung :
z
(
1
−
z
)
d
2
d
z
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
+
[
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
]
d
d
z
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
−
a
b
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
0
{\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-ab\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}
Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten , deren Werte im Folgenden bestimmt werden.
Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung
d
2
d
z
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
+
p
(
z
)
d
d
z
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
−
q
(
z
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+p(z){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-q(z)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}
mit
p
(
z
)
=
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
z
(
1
−
z
)
=
c
−
c
z
+
(
c
−
a
−
b
−
1
)
z
z
(
1
−
z
)
=
c
z
+
c
−
a
−
b
−
1
1
−
z
{\displaystyle p(z)={\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}={\frac {c-cz+(c-a-b-1)z}{z(1-z)}}={\frac {c}{z}}+{\frac {c-a-b-1}{1-z}}}
und
q
(
z
)
=
a
b
z
(
1
−
z
)
{\displaystyle q(z)={\frac {ab}{z(1-z)}}}
erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei
z
=
0
{\displaystyle z=0}
z
=
1
{\displaystyle z=1}
Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution
t
=
1
z
,
d
t
d
z
=
−
1
z
2
=
−
t
2
{\displaystyle \textstyle t={\frac {1}{z}},{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}={\frac {-1}{z^{2}}}=-t^{2}}
d
d
z
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
⋅
d
t
d
z
=
−
t
2
⋅
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}=-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)}
und
d
2
d
z
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
d
d
t
(
−
t
2
⋅
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
)
⋅
d
t
d
z
=
−
t
2
(
−
2
t
⋅
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
−
t
2
⋅
d
2
d
t
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
)
=
t
4
⋅
d
2
d
t
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
+
2
t
3
⋅
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\Big (}-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\cdot {\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}z}}\\&=-t^{2}{\Big (}-2t\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-t^{2}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t){\Big )}\\&=t^{4}\cdot {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+2t^{3}\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)\end{aligned}}}
Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch
t
4
{\displaystyle t^{4}}
d
2
d
t
2
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
+
p
~
(
t
)
⋅
d
d
t
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
−
q
~
(
t
)
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}t^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)+{\tilde {p}}(t)\cdot {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)-{\tilde {q}}(t)\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;t)=0}
mit
p
~
(
t
)
=
2
t
+
1
t
2
p
(
z
=
1
t
)
=
2
t
+
1
t
2
(
c
t
+
c
−
a
−
b
−
1
1
−
1
t
)
=
c
+
2
t
+
c
−
a
−
b
−
1
t
(
t
−
1
)
{\displaystyle {\tilde {p}}(t)={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}p(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {2}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}{\Big (}ct+{\frac {c-a-b-1}{1-{\frac {1}{t}}}}{\Big )}={\frac {c+2}{t}}+{\frac {c-a-b-1}{t(t-1)}}}
und
q
~
(
t
)
=
1
t
4
q
(
z
=
1
t
)
=
1
t
4
a
b
1
t
(
1
−
1
t
)
=
a
b
t
2
(
t
−
1
)
{\displaystyle {\tilde {q}}(t)={\frac {1}{t^{4}}}q(z={\tfrac {1}{t}})={\frac {1}{t^{4}}}{\frac {ab}{{\frac {1}{t}}(1-{\frac {1}{t}})}}={\frac {ab}{t^{2}(t-1)}}}
Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei
z
=
1
t
=
∞
{\displaystyle z={\tfrac {1}{t}}=\infty }
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Mit dem Potenzreihenansatz
u
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
{\displaystyle \textstyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}}
u
k
{\displaystyle u_{k}}
z
(
1
−
z
)
d
2
d
z
2
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
+
[
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
]
d
d
z
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
−
a
b
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
=
0
{\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}
Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung
z
(
1
−
z
)
∑
k
=
2
∞
k
(
k
−
1
)
u
k
z
k
−
2
+
[
c
−
(
a
+
b
+
1
)
z
]
∑
k
=
1
∞
k
u
k
z
k
−
1
−
a
b
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
=
0
{\displaystyle z(1-z)\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k-2}+\left[c-(a+b+1)z\right]\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k-1}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}
Zusammenfassen der Potenzen von
z
{\displaystyle z}
∑
k
=
2
∞
k
(
k
−
1
)
u
k
z
k
−
1
−
∑
k
=
2
∞
k
(
k
−
1
)
u
k
z
k
+
c
∑
k
=
1
∞
k
u
k
z
k
−
1
−
(
a
+
b
+
1
)
∑
k
=
1
∞
k
u
k
z
k
−
a
b
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
=
0
{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k-1}-\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k}+c\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k-1}-(a+b+1)\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}
Mittels Indexverschiebung ergibt sich
∑
k
=
0
∞
(
k
+
1
)
k
u
k
+
1
z
k
−
∑
k
=
0
∞
k
(
k
−
1
)
u
k
z
k
+
c
∑
k
=
0
∞
(
k
+
1
)
u
k
+
1
z
k
−
(
a
+
b
+
1
)
∑
k
=
0
∞
k
u
k
z
k
−
a
b
∑
k
=
0
∞
u
k
z
k
=
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(k+1)ku_{k+1}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k}+c\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)u_{k+1}z^{k}-(a+b+1)\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}
Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:
(
k
+
1
)
k
u
k
+
1
−
k
(
k
−
1
)
u
k
+
c
(
k
+
1
)
u
k
+
1
−
(
a
+
b
+
1
)
k
u
k
−
a
b
u
k
=
0
{\displaystyle (k+1)ku_{k+1}-k(k-1)u_{k}+c(k+1)u_{k+1}-(a+b+1)ku_{k}-abu_{k}=0}
Somit ist für den Koeffizienten
u
k
{\displaystyle u_{k}}
u
k
+
1
=
k
(
k
−
1
)
+
(
a
+
b
+
1
)
k
+
a
b
(
k
+
1
)
k
+
c
(
k
+
1
)
u
k
=
k
2
−
k
+
k
a
+
k
b
+
k
+
a
b
(
c
+
k
)
(
1
+
k
)
u
k
=
k
2
+
k
a
+
k
b
+
a
b
(
c
+
k
)
(
1
+
k
)
u
k
=
(
a
+
k
)
(
b
+
k
)
(
c
+
k
)
(
1
+
k
)
u
k
=
(
a
,
k
)
(
b
,
k
)
(
c
,
k
)
(
1
,
k
)
u
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{k+1}&={\frac {k(k-1)+(a+b+1)k+ab}{(k+1)k+c(k+1)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}-k+ka+kb+k+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {k^{2}+ka+kb+ab}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a+k)(b+k)}{(c+k)(1+k)}}u_{k}\\&={\frac {(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)}}u_{0}\end{aligned}}}
Hierbei bezeichnet
(
x
,
n
)
≡
Γ
(
x
+
n
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle (x,n)\equiv {\tfrac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}
Pochhammer-Symbol .
Wird als Anfangswert
u
0
=
1
{\displaystyle u_{0}=1}
u
(
z
)
=
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
(
a
,
k
)
(
b
,
k
)
(
c
,
k
)
(
1
,
k
)
z
k
=
∑
k
=
0
∞
Γ
(
a
+
k
)
Γ
(
b
+
k
)
Γ
(
c
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
)
Γ
(
c
+
k
)
z
k
k
!
{\displaystyle u(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a,k)(b,k)}{(c,k)(1,k)}}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+k)\,\Gamma (b+k)\,\Gamma (c)}{\Gamma (a)\,\Gamma (b)\,\Gamma (c+k)}}{\frac {z^{k}}{k!}}}
Für
c
∉
Z
{\displaystyle c\notin \mathbb {Z} }
[ 2]
v
(
z
)
=
z
1
−
c
2
F
1
(
a
−
c
+
1
,
b
−
c
+
1
;
2
−
c
;
z
)
{\displaystyle v(z)=z^{1-c}{}_{2}F_{1}(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}
Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:
y
(
z
)
=
C
1
u
(
z
)
+
C
2
v
(
z
)
{\displaystyle y(z)=C_{1}u(z)+C_{2}v(z)}
C
1
,
C
2
∈
C
{\displaystyle C_{1},C_{2}\in \mathbb {C} }
Leonhard Euler : Specimen transformationis singularis serierum . In: Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae . 12. Jahrgang, 1801, S. 58 – 70 (maa.org ).
↑ Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online
↑ Erwin Kreyszig : Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons 1988, S. 204 f. 
![{\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)-ab\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c8109c6077597f0794680f0a5bb711e69ea2dd)
![{\displaystyle z(1-z){\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce795bf6d4a0144e7501fdc94d9b6905765984d9)
![{\displaystyle z(1-z)\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)u_{k}z^{k-2}+\left[c-(a+b+1)z\right]\sum _{k=1}^{\infty }ku_{k}z^{k-1}-ab\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}z^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af92b8ed5e4bbb63ec1156f114fa98baccbd2614)
