Eine Integralkurve bezeichnet in der Mathematik im Bereich der Differentialtopologie eine auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit definierte Kurve, die in enger Beziehung zu einem gegebenen glatten Vektorfeld auf dieser Mannigfaltigkeit steht. So stellen beispielsweise elektrische Feldlinien Integralkurven des zugehörigen elektrischen Vektorfeldes dar. Anschaulich bewegt sich ein kleiner Styroporball im Idealfall auf Integralkurven des Vektorfeldes, das etwa von der Strömung eines Flusses vorgegeben wird.

Definition

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Integralkurven eines Vektorfeldes auf der zweidimensionalen Einheitssphäre

Sei   ein glattes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit   der Dimension   und   ein beliebiger Punkt. Dann heißt eine glatte Kurve   auf einem offenen Intervall   mit   Integralkurve von   durch  , wenn

 
 

Oder mit anderen Worten: Der Tangentialvektor von   ist an jeder Stelle identisch mit dem durch   gegebenen Vektor an dieser Stelle.

Existenz

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In lokalen Koordinaten reduziert sich das Problem auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen:

 

wobei   und die   glatte Funktionen auf   sind. Zusammen mit der Randbedingung   handelt es sich also um ein klassisches Anfangswertproblem und der Satz von Picard-Lindelöf garantiert somit eine eindeutige Lösung in einer Umgebung von  . Da man Lösungen von Differentialgleichungen auch oft 'Integrale' nennt, liegt hier der Begriff 'Integralkurve' nahe.

Lokaler Fluss

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Zu jedem glatten Vektorfeld   gibt es einen eindeutig bestimmten maximalen lokalen Fluss

 

mit dem Definitionsbereich

 .

Dabei ist   die eindeutig bestimmte maximale Integralkurve mit   und   für alle  .[1] Ist die Mannigfaltigkeit   kompakt, dann ist der Fluss global, das heißt, es gilt   für alle   und  .

Literatur

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  • Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Einführung in die Differentialtopologie. Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3, § 8. Dynamische Systeme.
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 218). Springer Verlag, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95448-1.

Einzelnachweise

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  1. R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 249.