Kettenlogarithmus

Ein Kettenlogarithmus ist ein Objekt der reellen Analysis, das, ähnlich wie ein Kettenbruch, eine Darstellung der reellen Zahlen erlaubt. Ein endlicher Kettenlogarithmus zu einer ganzzahligen Basis $m\geq 3$ ist ein Ausdruck der Form

$K\log _{m}(d_{1},\dots ,d_{n}):=\log _{m}(d_{1}+\log _{m}(d_{2}+\log _{m}(\dots +\log _{m}(d_{n})\dots ),$

mit $d_{k}\in \{1,\dots ,m-1\}$ für $k=1,\dots n$. $\log _{m}(x)$ bezeichnet den Logarithmus zur Basis $m$ von $x$. Ein unendlicher Kettenlogarithmus ist durch den Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }{\it {K\log }}_{m}(d_{1},\dots ,d_{n}),$

für eine Folge in $\{1,\dots ,m-1\}^{\mathbb {N} }$, gegeben. Für eine Basis $m\geq 3$ hat jede reelle Zahl in $[0,1]$ eine Darstellung durch einen unendlichen Kettenlogarithmus und diese Darstellung ist bis auf einen abzählbare Menge reeller Zahlen eindeutig. In der Darstellung fast aller reellen Zahlen in $[0,1]$, in Bezug auf das Lebesgue-Maß, kommen alle Zahlen in $\{1,\dots ,m-1\}$ unendlich oft vor. Auf der anderen Seite sind fast alle Zahlen nicht normal im Bezug auf ihre Darstellung als Kettenlogarithmus, d. h. die Zahlen in $\{1,\dots ,m-1\}$ kommen nicht mit gleicher Häufigkeit vor.