Klein-Gordon-Gleichung

relativistische Feldgleichung

Die Klein-Gordon-Gleichung (auch Klein-Fock-Gordon-Gleichung oder Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung[1]) ist die relativistische Feldgleichung, welche die Kinematik freier skalarer Felder bzw. Teilchen (d. h. Spin 0) bestimmt. Es handelt sich dabei um eine homogene partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die relativistisch kovariant ist, d. h. forminvariant unter Lorentz-Transformation.

Geschichte

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Oskar Klein, Kopenhagen 1963

Nach Schrödingers Publikation im Jahre 1926 versuchten viele Physiker, darunter Oskar Klein und Walter Gordon, das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung zu finden, um Wellenfunktionen zu charakterisieren, die in der Quantenmechanik den Zuständen eines freien Teilchens entsprechen. Unabhängig stießen auch Schrödinger selbst und Wladimir Fock auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb sie manchmal zusätzlich nach ihnen benannt wird.

Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls, nicht aber der Spin der untersuchten Teilchen. Deswegen stimmen bei geladenen Spin-1/2-Teilchen wie dem Elektron und dem Proton im Wasserstoffatom die aus der Klein-Gordon-Gleichung hergeleiteten Bindungsenergien nicht mit den beobachteten Energien überein; die richtige Bewegungsgleichung für diese Teilchen ist die Dirac-Gleichung. Stattdessen beschreibt die Klein-Gordon-Gleichung als skalare Differentialgleichung spinlose Teilchen korrekt, z. B. Pionen.

Herleitung

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Bei der Herleitung geht man von der Energie-Impuls-Beziehung

 

zwischen der Energie   und dem Impuls   eines Teilchens der Masse   in der speziellen Relativitätstheorie aus. Die erste Quantisierung deutet diese Relation als Gleichung für Operatoren, die auf Wellenfunktionen   wirken. Dabei sind   und   die Operatoren

 

Damit ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung

 

In diesen Einheiten, mit dem D’Alembert-Operator

 

und mit der abkürzenden Bezeichnung   für die Raumzeitkoordinaten lautet die Klein-Gordon-Gleichung:

 

Da der Wellenoperator   und die reduzierte Compton-Wellenlänge   sich in der Minkowski-Raumzeit wie skalare Größen transformieren, ist in dieser Darstellung die relativistische Invarianz der skalaren Gleichung offensichtlich. In der relativistischen Quantentheorie verwendet man an Stelle der SI-Einheiten natürliche Einheiten, in denen   und   den Wert 1 haben. Dadurch ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung zu

 .

Bezeichne   den Vierer-Wellenvektor. Dann ist die ebene Welle

 

eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, wenn die Kreisfrequenz   gemäß

 

oder in den Planck-Einheiten

 

mit dem Wellenvektor   zusammenhängt. Ebenso löst die konjugiert-komplexe Welle

 

die Klein-Gordon-Gleichung, da diese reell ist.

Da die Klein-Gordon-Gleichung linear und homogen ist, sind Summen und komplexe Vielfache von Lösungen ebenso Lösungen. Daher löst

 

mit beliebigen fouriertransformierbaren Amplituden   und   die Klein-Gordon-Gleichung. Umgekehrt ist jede fouriertransformierbare Lösung von dieser Form.

In dieser Darstellung der Lösung ist allerdings nicht ersichtlich, dass sie im Punkt   nur von ihren Anfangswerten auf und im Inneren des Lichtkegels von   abhängt.

In der Quantenfeldtheorie sind   und dementsprechend auch   und   Operatoren. Der Operator   vernichtet Teilchenzustände mit Spin  , beispielsweise negative Pionen,   erzeugt die entgegengesetzt geladenen Antiteilchen, positive Pionen. Der adjungierte Operator   vernichtet dann positive Pionen und erzeugt negative Pionen.

Für ein reelles Feld   gilt  . Es ist invariant unter Phasentransformationen und trägt nicht zum elektromagnetischen Strom bei. Die Teilchen, die das reelle Feld vernichtet und erzeugt, beispielsweise neutralen Pionen, sind ungeladen und stimmen mit ihren Antiteilchen überein.

Lagrangedichte

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Eine Lagrangedichte für ein reelles Feld  , die auf die Klein-Gordon-Gleichung führt, lautet

 

und für ein komplexes Feld  

 

Mit der hier gewählten Normierung der Lagrangedichten ergeben sich in der Quantenfeldtheorie für das komplexe Feld dieselben Propagatoren wie für das reelle.

Kontinuitätsgleichung

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Die Lagrangedichte für das komplexe Feld ist invariant unter der kontinuierlichen Schar von Transformationen

 

die das Feld mit einer komplexen Phase   multiplizieren.

Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser kontinuierlichen Symmetrie ein erhaltener Strom mit Komponenten

 

Die 0-Komponente ist die Dichte der erhaltenen Ladung:

 

Diese Dichte ist nicht positiv semidefinit und kann nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden. Vielmehr wird

 

als die elektrische Ladung und   als die elektromagnetische Viererstromdichte gedeutet, an die das skalare Potential und das Vektorpotential der Elektrodynamik koppeln.

Siehe auch

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Literatur

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  • N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov: Introduction to the Theory of Quantized Fields. Wiley-Interscience, New York 1959.
  • R. Courant, D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. 2. Auflage. Springer, 1968.

Einzelnachweise

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  1. Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Relativistische Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Elementarteilchentheorie. Springer, Berlin Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2602-4, S. 3, 116.