In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition

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Es sei   ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe   von Ringen. Dann heißt eine  -Modulgarbe   kohärent, wenn

  1.   endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt   von   hat eine offene Umgebung  , auf der eine Surjektion   existiert, und
  2. für jede offene Teilmenge   von   und jeden Morphismus   ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften

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eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
  • Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie

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Kohärente Garben in der komplexen Analysis

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  • Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass   selbst kohärent ist, nicht trivial.
  • Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur

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