Konforme Feldtheorie

Quantenfeldtheorie

Konforme Feldtheorien (englisch Conformal Field Theory, Abkürzung CFT) sind Quantenfeldtheorien oder statistische Feldtheorien, die invariant sind unter konformen Transformationen der Koordinaten kombiniert mit einer i. A. ortsabhängigen Skalierung der Felder.

In diese Kategorie fallen die meisten renormierbaren Feldtheorien an ihren kritischen Punkten. Wie durch die Renormierungsgruppe beschrieben besteht an kritischen Punkten Skaleninvarianz bei geeigneter globaler Skalierung der Felder und Koordinaten, und die konforme Invarianz verallgemeinert diese Invarianz zu einer größeren lokalen Symmetrie (Abbildung 1). Konforme Koordiantentransformationen bestehen aus Translationen, einer Rotationen, Skalierungen und eventuell Inversionen. Für translations-, rotations- und skaleninvariante (kritische) Systeme mit kurzreichweitiger Wechselwirkung ist konforme Invarianz daher zumindest plausibel.

Abb. 1: Für ein System in einem Rechteck in der z-Ebene (links) kann man anstelle der komplexen Koordinate z eine krummlinige konforme Koordinate w(z) verwenden.
Die w-Koordinate des Rechtecks lässt sich auch in der w-Ebene (rechts) darstellen. Es resultiert eine äquivalente Beschreibung des Systems in der w-Ebene.

Konform invariante Feldtheorien in euklidischen Räumen

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In einer Raumdimension sind alle Koordinatentransformationen konform. Die Gruppe der konformen Transformationen des  -dimensionalen euklidischen Raums mit   wird erzeugt von einer Lie-Algebra mit   Generatoren, nämlich Translationen, Rotationen, Skalierungen und speziellen konformen Transformationen. Letztere enthalten Inversionen und bilden einen endlichen Punkt auf   ab, und es ist zweckmäßig, einen Punkt   zum euklidischen Raum hinzuzunehmen. Im Fall   gibt es weitere unendlich viele Generatoren, welche aber endliche Bereiche der komplexen Ebene aufeinander abbilden, und nicht die ganze Ebene.

Wenn   die (skalaren) Felder,   kartesische und   konforme Koordinaten bezeichnet, dann entspricht die konforme Invarianz den Transformationen

 

Hierbei liefert die Funktionaldeterminante   die  -te Potenz des lokalen Skalenfaktors, und   ist die Skalendimension des Feldes  . Die Gleichung für   liefert, eingesetzt in Korrelationsfunktionen, deren Transformationsgesetz.

Für sich allein ergibt die Gleichung für   nur Sinn als eine lokale Renormierungsgruppen-Transformation mit einer Reskalierung der Felder und einer Abbildung von Koordinaten aufeinander (für konstante Skalierung   und nach Fourier-Transformation handelt sich um eine RG-Transformation an einem Fixpunkt nach dem Schema von K.G. Wilson). Eine wichtige Rolle in der weiteren Theorie spielen die Operatorproduktentwicklung und der Energie-Impuls-Tensor des Systems.

Konform invariante Feldtheorien in zwei Raumdimensionen

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Die konformen Koordinatentransformationen   lassen sich mit den komplex diffenzierbaren Abbildungen   identifizieren, und die komplexe Analysis mit komplexer Integration, dem Satz von Cauchy und Laurent-Reihen kommt zum Tragen.

Spezielle Aspekte der komplexen Analysis

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Man schreibt   und  , und entsprechend

 

Es erweist sich als zweckmäßig, temporär von komplexer Konjugation abzusehen und   und   formal als unabhängige Koordinaten aufzufassen (Komplexifizierung). Wenn Tensor-Indizes in  - -Koordinaten mit   bezeichnet werden, dann ist für Vektoren  

 

In dieser Schreibweise ist   und  . Zum Längenelement   gehört der metrische Tensor

 

Wichtig ist der Gaußsche Integralsatz

 

Das Kurvenintegral verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn und misst den Fluss des Vektorfelds durch den Rand   der Fläche  .

Eine besondere Rolle spielt der Energie-Impuls-Tensor  , mit  . Aus der Invarianz von   folgt

 

Somit ist   ein diagonaler  -Tensor mit Diagonalelementen   und  .

Die weitere Theorie ist umfangreich,   generiert die Änderung des jeweiligen Wirkungsintegrals bei generischen Koordinatentransformationen.

Ergebnisse

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Ein geeigneter Satz von Symmetriegeneratoren der komplex diffenzierbaren Abbildungen   ist die Witt-Algebra. Bei Berücksichtigung der Feld-Fluktuationen wird die Witt-Algebra zu einer Virasoro-Algebra,

 .

Die Theorie der Darstellungen der Virasoro-Algebra ermöglicht eine Klassifikation vieler Systeme und oft eine exakte Berechnung der kritischen Exponenten und Korrelationsfunktionen. Eine wichtige Klasse von Darstellungen sind die unitären minimalen Modelle mit rationalen Skalendimensionen

 

für die Felder. Das ist auch eine Erklärung dafür, weshalb kritische Exponenten zweidimensionaler Systeme oft rationale Zahlen sind (Beispiele: Ising-Modell, isotrope Perkolation). Dem Ising-Modell z. B. entspricht  .

Weitere Anwendungen der zweidimensionalen konformen Invarianz finden sich in der Stringtheorie. Ein String spannt in der Raumzeit eine zweidimensionale Fläche auf, die Stringkoordinaten fungieren als Felder.

Siehe auch

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Literatur

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  • Malte Henkel: Conformal invariance and critical Phenomena. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65321-X (Texts and Monographs in Physics).
  • John Cardy: Scaling and Renormalization in Statistical Physics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1996, ISBN 0-521-49959-3 (Cambridge Lecture Notes in Physics 5).
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