Kramers-Theorem

Theorie in der Quantenmechanik

Das nach Hendrik Anthony Kramers benannte Kramers-Theorem, auch mit dem Namen Kramers-Entartung bezeichnet, ist eine theoretische, quantenmechanische Aussage zum Entartungsgrad der Energie-Zustände eines Systems mit halbzahligem Gesamtspin (z. B. einer beliebigen Anzahl an Bosonen und einer ungeraden an Fermionen wie den Elektronen). Demnach ist für den Fall, dass auf das System höchstens ein elektrisches Feld wirkt und der Gesamtspin des Systems halbzahlig ist, jeder Energiezustand mindestens zweifach entartet und zudem in jedem Fall geradzahlig entartet. Wirkt auf das betrachtete System z. B. explizit ein magnetisches Feld, so gilt die Aussage des Kramers-Theorems nicht.[1]

Aus dem Kramers-Theorem folgt, dass durch alleiniges Anlegen eines elektrischen Feldes die Entartung eines beliebigen Energie-Zustandes niemals vollständig aufgehoben werden kann.[2]

Mathematische Formulierung

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Für die Zustände   des Systems wird die Bra-Ket-Notation verwendet. Es sei   der semilineare, unitäre Operator, der eine Zeitumkehr bewirkt. Für ein System von  -Teilchen mit jeweiligem Spin   und damit Gesamtspin   gilt  .

Als Voraussetzung sei der Hamiltonoperator, der das Vielteilchen-System beschreibt, zeitumkehrinvariant  . Hieraus folgt für einen beliebigen Gesamtspin  , dass wenn   ein Eigenzustand von   zum Energie-Eigenwert   ist, dann auch   ein solcher Eigenzustand von   zum Eigenwert   ist:

 

Dass   für einen halbzahligen Gesamtspin   linear unabhängig von   ist, folgt aus   und der Semilinearität von  , speziell der Eigenschaft   für  :[2]

 

Das Kramers-Theorem gilt in Anwesenheit elektrischer Felder, da diese die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators   nicht beeinflussen, während die Anwesenheit magnetischer Felder die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators   aufhebt. (Zur Form des Hamiltonoperators siehe geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld, weitere additive Terme für die Berücksichtigung der Spins können die Zeitumkehrinvarianz nicht wiederherstellen.)

Einzelnachweise

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  1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2, 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1985, ISBN 3-11-010265-X, S. 165.
  2. a b Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-85075-5, S. 232.

Literatur

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