Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit $a_{n}=1$ für alle Werte n:

$L(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

Eigenschaften

Konvergenz

Für $|q|=1$ konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für $|q|\neq 1$ konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergiert. Konvergiert $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle $q$, für die die Potenzreihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}$ konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für $|q|<1$ in eine geometrische Reihe

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten $b_{m}$ der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von $a_{n}$ mit der konstanten Folge $1_{(n)}=1$ ergeben:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}$

Alternative Form

Setzt man $q=e^{-z}$, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz},$

wieder mit

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.$

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit $z=2\pi$, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\ \Phi ^{2n}}{\Phi ^{4n}-1}}={\sqrt {5}}\left(L\left(\Phi ^{-2}\right)-L\left(\Phi ^{-4}\right)\right)$

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}\left({\sqrt {2}}+1\right)^{2n}}{\left({\sqrt {2}}+1\right)^{4n}-1}}=2{\sqrt {2}}\left(L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\right)-L\left(\left({\sqrt {2}}-1\right)^{4}\right)\right)$

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{n^{2}}\left(2^{n}-1\right)}}=L\left({\frac {1}{2}}\right)$

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{n}-1}}-{\frac {2}{4^{n}-1}}\right)=L\left({\frac {1}{2}}\right)-2L\left({\frac {1}{4}}\right)$

Siehe auch

• Thetafunktion
• Elliptisches Nomen

Literatur

• Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323. 
• Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.