Lemma von Riemann-Lebesgue

mathematischer Satz aus der Analysis

Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von absolut integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Formulierung des Satzes

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Sei  , also   eine messbare Funktion mit

 

und   die Fourier-Transformierte von  , also

 .

Dann verschwindet   im Unendlichen, das heißt   oder formaler, dass es zu jedem   eine reelle Zahl   gibt, so dass   für alle  .[1][2]

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei   um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit  , so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf   ist eine Abbildung von   nach  .

Der Beweis[1] soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass   stetig ist. Für   liefert die Substitution  

 ,

und wir haben eine zweite Formel für  . Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

 .

Aufgrund der Stetigkeit von   konvergiert   gegen   für alle   und  . Außerdem gilt

 .

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert   also für   gegen 0.

Die Annahme der Stetigkeit von   kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die absolut integrablen stetigen Funktionen dicht in  . Für jedes   und jede Funktion   existiert also eine stetige Funktion  , sodass   gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch   gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet   für  , und da   beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für  .

Verallgemeinerungen

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Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen   verallgemeinern:

Es sei   eine integrable Funktion, das heißt

 .

Ist   die Fourier-Transformierte

 ,

so gilt   für  .[3]

Dabei ist   irgendeine Norm auf dem  , zum Beispiel die euklidische Norm.

Banachalgebren

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Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L1-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C0-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von   mit   identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.[4]

Einzelnachweise

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  1. a b M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
  2. Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
  3. Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
  4. Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform