Liste stochastischer Prozesse

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Nachfolgend finden sich eine Übersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der Prozesse und deren Lösungen.

Markow-Prozesse

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Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

Affine Prozesse

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Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

Lévy-Prozesse

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Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess   ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß  

Varianz-Gamma-Prozess

 

Poisson-Prozesse
Zusammengesetzter Poisson-Prozess
 
Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig  

Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vektor-)raumabhängig  

Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

Itō-Prozesse

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Itō-Prozess
 

SDGL:

 

Verallgemeinerter Wiener-Prozess / verallgemeinerte Brownsche Bewegung

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Der verallgemeinerte Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.

 

SDGL:

 

Einfache Form:

 

SDGL:

 
Standard-Wiener-Prozess / Standard-Brownsche Bewegung
 

SDGL:

 

Weitere Itō-Prozesse

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Geometrische Brownsche Bewegung
 

SDGL:

 
Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:

 
Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:

 
Bessel-Prozess
 

SDGL:

 

Gauß-Prozesse

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  ist ein Gauß-Prozess, falls für alle   gilt:   ist   durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben.

Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō-Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

Gauß-Markow-Prozesse

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Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.

 

Feller-Prozesse

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Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion, die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.