Lorentzsche Mannigfaltigkeit

vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik

Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit oder Lorentzmannigfaltigkeit (nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik mit Signatur (1,3,0), auch als (-,+,+,+) notiert. Sie ist ein Spezialfall einer (n+1)-dimensionalen pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik-Signatur (1,n,0) ≡ (-,+,+,+,...) mit n ≥ 1, die manchmal (im weiteren Sinn) ebenfalls als lorentzsche Mannigfaltigkeit bezeichnet werden.[1] Lorentzmannigfaltigkeiten sind für die allgemeine Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da dort die Raumzeit als vierdimensionale lorentzsche Mannigfaltigkeit modelliert wird.

Punktrelationen und Gliederung der Mannigfaltigkeit

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Sei   ein Raum-Zeit-Punkt (Ereignis) aus der Raumzeit   und   der Tangentialraum (einen Minkowski-Vektorraum) an   im Punkt  .

Da die lorentzsche Metrik   als Pseudoskalarprodukt im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren   an die Mannigfaltigkeit auf:

  • zeitartige Vektoren mit  ,
  • raumartige Vektoren mit  ,
  • lichtartige Vektoren mit  .

Lichtartige Vektoren werden wegen   auch Nullvektoren genannt (im weiteren Sinne, englisch null vectors – im engeren Sinn ist das nur   bzw.  , en. zero vector).[A 1]

Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit  ) werden auch kausale Vektoren genannt.

Wege bzw. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an den Weg bzw. die Kurve auf der gesamten Länge zur entsprechenden Kategorien gehören.

Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes   ist die Menge aller Punkte   die von   aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit   bezeichnet. Die kausale Zukunft   ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit   und  .

Lorentzsche Länge

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Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve mit Parameterdarstellung (Weg)   ist

 

  ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.

Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.

Lorentzscher Abstand

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Als lorentzscher Abstand   zwischen zwei Punkten   und   von   wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von   nach   gewählt, wenn   in   liegt, ansonsten definiert man  .

Anmerkungen

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  1. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass wegen Nicht-Entartung gilt: Ist für   die Bedingung   für alle   erfüllt, dann ist  

Siehe auch

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Literatur

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  • John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.

Einzelnachweise

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  1. Christopher Stover: Lorentzian Manifold, auf Wolfram MathWorld