Maßraum

mathematische Struktur in der Maßtheorie

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

Definition

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Das Tripel   heißt Maßraum, wenn

  •   eine beliebige, nichtleere Menge ist.   wird dann auch Grundmenge genannt.
  •   eine σ-Algebra über der Grundmenge   ist.
  •   ein Maß ist, das auf   definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum   versehen mit einem Maß   definieren.

Beispiele

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Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge  , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge   und als Maß das Diracmaß auf der 1:  .

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge  , versehen mit der borelschen σ-Algebra   und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume   sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge  , der Ereignisalgebra   und dem Wahrscheinlichkeitsmaß  .

Klassen von Maßräumen

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Endliche Maßräume

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Ein Maßraum   wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also   ist.

σ-endliche Maßräume

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Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra  ) ist.

Vollständige Maßräume

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Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte Maßräume

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Ist   eine σ-Algebra über der Grundmenge   und   ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel   einen signierten Maßraum.

Separable Maßräume

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Ein Maßraum   heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem   existiert, so dass für alle   und beliebige   ein   existiert, so dass   ist.

Zerlegbare Maßräume

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Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare Maßräume

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Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

Literatur

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