Max-stabile Prozesse

Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie

Max-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall. Ähnlich zum ein- und mehrdimensionalen Fall, tritt ein solcher Prozess als Grenzwert der Maxima von angemessen normalisierten unabhängigen Kopien eines stochastischen Prozesses auf.

Definition

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Sei   eine beliebige Indexmenge. Ein stochastischer Prozess   heißt max-stabil, falls es Normalisierungskonstanten   gibt, sodass für unabhängige Kopien   des Prozesses   gilt[1]

 .

Die eindimensionalen Randverteilungen eines max-stabilen Prozesses sind durch eine der drei univariaten Extremwertverteilungen gegeben. Im Falle von Fréchet-verteilten Rändern d. h.   können die Normalisierungskonstanten wie folgt gewählt werden:  .

Allgemeines

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Seien   unabhängige Kopien des stochastischen Prozesses  . Gibt es nun Normalisierungskonstanten  , sodass gilt   für   und   und der Prozess   ist nicht degeneriert, so ist   ein max-stabiler Prozess. Ein max-stabiler Prozess mit einfachen Fréchet-verteilten Rändern kann mithilfe seiner Spektraldarstellung konstruiert werden.[2]

Einzelnachweise

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  1. Maximilian Zott: Extreme Value Theory in Higher Dimensions - Max-Stable Processes and Multivariate Records. (uni-wuerzburg.de [abgerufen am 7. Oktober 2019]).
  2. Laurens de Haan: A Spectral Representation for Max-stable Processes. In: The Annals of Probability. 1984.