Mellin-Transformation

mathematische Integraltransformation
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Unter der Mellin-Transformation versteht man eine mit der Fourier-Transformation verwandte Integraltransformation. Sie ist benannt nach dem finnischen Mathematiker Hjalmar Mellin.

Geschichte

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Im Gegensatz zur Fourier- und zur Laplace-Transformation, die zum Lösen physikalischer Probleme entwickelt wurden, wurde die Mellin-Transformation in einem mathematischen Kontext entwickelt. Ein erstes Auftreten dieser Integraltransformation findet sich in einer Veröffentlichung von Bernhard Riemann, der sie zur Untersuchung seiner Zeta-Funktion einsetzte. Eine erste systematische Formulierung und Untersuchung der Mellin-Transformation und ihrer Rücktransformation geht auf den finnischen Mathematiker R. Hjalmar Mellin zurück. Im Bereich der speziellen Funktionen entwickelte er Methoden, um hypergeometrische Differentialgleichungen zu lösen und asymptotische Entwicklungen herzuleiten.[1]

Definition

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Die Mellin-Transformierte einer auf der positiven reellen Achse definierten Funktion   ist definiert als die Funktion

 

für komplexe Zahlen  , sofern dieses Integral konvergiert. In der Literatur findet man die Transformierte auch mit einem Normierungsfaktor  , also

 

Dabei ist   die Gamma-Funktion.

Rücktransformation

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Unter den folgenden Bedingungen ist die Rücktransformation

 

von   zu   für jedes reelle   mit   möglich. Hierbei seien   und   zwei positive reelle Zahlen.

  • das Integral   ist in dem Streifen   absolut konvergent
  •   ist in dem Streifen   analytisch
  • der Ausdruck   strebt für   und jedem beliebigen Wert   zwischen   und   gleichmäßig gegen 0
  • die Funktion   ist auf der positiven reellen Achse stückweise stetig, wobei im Falle unstetiger Sprungstellen jeweils der Mittelwert der beidseitigen Grenzwerte genommen werden soll (Treppenfunktion)

Beziehung zur Fourier-Transformation

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Die Mellin-Transformation ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Substituiert man nämlich im obigen Integral  , setzt man   und bezeichnet man die inverse Fourier-Transformierte der Funktion   mit  , so ist für reelle  

 .

Beispiel zur Dirichletreihe

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Mittels der Mellin-Transformation lassen sich eine Dirichletreihe   und eine Potenzreihe   zueinander in Beziehung setzen. Es seien

  und  

mit den gleichen  . Dann gilt

 .

Setzt man hierin zum Beispiel alle  , so ist   die Riemannsche Zetafunktion, und man erhält

 

für  .

Literatur

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  • M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
  • E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0-8284-0324-5.
  • D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.
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Einzelnachweise

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  1. Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez: The Transforms and Applications Handbook. Hrsg.: Alexander D. Poularikas. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 11.1.