Normaler Operator

Begriff aus der Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

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Ist   ein Hilbertraum und bezeichnet   die Menge aller stetigen Endomorphismen von  , so heißt ein Operator   normal, falls er mit seinem adjungierten Operator   kommutiert, also wenn

 

gilt.

Beispiele

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Eigenschaften

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Sei   ein normaler Operator. Dann gilt:

  •   für alle  
  •   für alle  
  • Die Operatornorm von   ist gleich dem Spektralradius:   Dabei bezeichnet   das Spektrum von  .
  • Die von   erzeugte C*-Algebra und die von   erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
  • Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
  • Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall   ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
  • Ein beschränkter Operator   in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in   mit dem „Realteil“   und dem „Imaginärteil“   Dabei sind die Operatoren   selbstadjungiert.   ist genau dann normal, wenn  .

Verwandte Begriffe

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Ein Operator   heißt

  • quasinormal, falls   mit   vertauscht, das heißt  .
  • subnormal, falls es einen Hilbertraum   gibt, so dass   Unterraum von   ist, und einen normalen Operator  , so dass   und  .
  • hyponormal, falls   für alle  .
  • paranormal, falls   für alle  .
  • normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.:  .

Es gelten folgende Implikationen:

normal   quasinormal   subnormal   hyponormal   paranormal   normaloid.

Unbeschränkte Operatoren

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Ein unbeschränkter Operator   mit Definitionsbereich   heißt normal falls

 

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt  .

Literatur

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