Orthokompakter Raum

Verallgemeinerung des kompakten topologischen Raumes

Ein orthokompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.

Definition

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Eine Familie von Teilmengen eines topologischen Raumes, für die für jeden Punkt des Raumes der Schnitt der diesen enthaltenden Teilmengen der Familie offen ist, wird innererhaltende Familie (oder Q-Familie) genannt. Ein topologischer Raum, für den für jede (abzählbare) offene Überdeckung eine innererhaltende offene Verfeinerung existiert, wird (abzählbar) orthokompakt genannt.

Eigenschaften

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  • Kompakte Räume sind orthokompakt. Das folgt daraus, dass eine endliche Teilüberdeckung insbesondere innererhaltend ist.
  • (Abzählbar) metakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass punktendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
  • (Abzählbar) parakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass lokalendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
  • Abgeschlossene Unterräume von orthokompakten Räumen sind orthokompakt.
  • Jeder orthokompakte Raum ist abzählbar orthokompakt. Das folgt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung insbesondere eine offene Überdeckung ist.
  • Jeder abzählbar orthokompakte Lindelöf-Raum ist orthokompakt. Das folgt daraus, dass in Lindelöf-Räumen für jede offene Überdeckung bereits eine abzählbare offene Teilüberdeckung existiert.
  • Für einen orthokompakten Raum   ist   genau dann orthokompakt, wenn   abzählbar metakompakt ist.[1]
  • P-Räume sind abzählbar orthokompakt.[2] Das folgt direkt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung eines P-Raumes innererhaltend ist.
  • Räume mit Alexandroff-Topologie sind orthokompakt.[2] Das folgt direkt daraus, dass jede offene Überdeckung eines Raumes mit Alexandroff-Topologie innererhaltend ist.
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Einzelnachweise

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  1. B.M. Scott, Towards a product theory for orthocompactness, "Studies in Topology", N.M. Stavrakas and K.R. Allen, eds (1975), 517–537.
  2. a b Julian Dontchev: Orthocompactness and semi-stratifiability in the density topology. 12. September 1998, abgerufen am 12. November 2023 (englisch).