Die orthoptische Kurve (griechisch ορθοπτική ‚Geradesehen‘) einer ebenen Kurve ist in der Mathematik der geometrische Ort aller Schnittpunkte orthogonaler Tangenten der Kurve .

Parabel mit orthoptischer Kurve (lila Gerade).
Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila Kreis)
Hyperbel mit orthoptischer Kurve (lila Kreis)

Beispiele: Die orthoptische Kurve

  1. einer Parabel ist ihre Leitlinie (Beweis: siehe unten),
  2. einer Ellipse ist der Kreis (s. unten),
  3. einer Hyperbel ist der Kreis (im Fall gibt es keine orthogonalen Tangenten, s. unten),
  4. einer Astroide ist die 4-blättrige Rosette (Quadrifolium)[1] mit der Gleichung (in Polarkoordinaten)
    (siehe unten).

Verallgemeinerungen:

  1. Eine isoptische Kurve einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte von Tangenten der Kurve die sich unter einem festen Winkel schneiden (s. unten).
  2. Eine isoptische Kurve zweier ebener Kurven ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte von Tangenten der Kurven , die sich unter einem festen Winkel schneiden.
  3. Der Thaleskreis über einer Strecke lässt sich als orthoptische Kurve von zwei zu den Punkten degenerierten Kreisen auffassen.

Bemerkung: In der Augenheilkunde gibt es die ähnlich lautenden Begriffe Orthoptik und Orthoptistin.

Orthoptische Kurve einer Parabel

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Eine beliebige Parabel lässt sich durch eine geeignete Verschiebung und Drehung in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung   beschreiben. Die Steigung in einem Parabelpunkt   ist  . Ersetzt man in   die Variable   durch  , so erhält man eine Parameterdarstellung der Parabel mit der Steigung als Parameter:   Die Tangente in einem Parabelpunkt hat die Gleichung   mit dem noch unbekannten  -Abschnitt  , der durch Einsetzen der Koordinaten des Parabelpunktes bestimmt werden kann. Man erhält   Für einen beliebigen Punkt   einer solchen Tangente gilt also für die Steigung   die quadratische Gleichung

 

deren Lösungen   die Steigungen der beiden Tangenten durch   sind. Das Absolutglied dieser Gleichung ist nach dem Satz von Vieta dem Produkt ihrer Lösungen gleich, das wegen der vorausgesetzten Orthogonalität der Tangenten gleich −1 sein muss:

 

Die letzte Gleichung ist zu

 

äquivalent. Sie ist die Gleichung der Leitlinie der Parabel.

Orthoptische Kurve einer Ellipse bzw. Hyperbel

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Sei   die betrachtete Ellipse.

(1) Die senkrechten Tangenten an   durch die Hauptscheitel   schneiden die waagrechten Tangenten durch die Nebenscheitel   in den Punkten  . Diese vier Schnittpunkte liegen auf einem Kreis um den Koordinatenursprung mit Radius  .

(2) Bis auf die Hauptscheitel ist jeder Punkt   der Ellipse   Berührpunkt einer Tangente mit der Hauptform  . Auflösen der Tangentengleichung   (s. Ellipse) nach   ergibt

  und  .

Wegen Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung existieren zu jeder Steigung   zwei parallele Tangenten  , deren Hauptformen sich genau im Vorzeichen von   unterscheiden. Für je ein Paar   ist   nur von   abhängig, und die Lage von   auf der Ellipse ermöglicht eine koordinatenfreie Darstellung:

 

Das ergibt für die allgemeine Hauptform einer nicht senkrechten Tangente an  :

 

Für einen beliebigen Punkt   einer solchen Tangente ergibt Auflösen der Funktionsgleichung nach   die quadratische Gleichung

 

deren Lösungen   die Steigungen der beiden Tangenten durch   sind. Das Absolutglied dieser Gleichung ist nach dem Satz von Vieta dem Produkt ihrer Lösungen gleich. Bis auf die in (1) betrachteten schneiden sich zwei Tangenten mit dem Steigungsprodukt orthogonaler Geraden in   genau dann orthogonal, wenn

 

oder äquivalent

 .

(3) Mit (1) und (2) gilt allgemein:

  • Die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius   dieser ist die orthoptische Kurve der Ellipse  . Äquivalent:
  • Von einem beliebigen Punkt des orthoptischen Kreises aus erscheint die Ellipse unter einem Öffnungswinkel von  

Hyperbel

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Der Ellipsenfall lässt sich für den Hyperbelfall fast wörtlich übernehmen. Die einzigen notwendigen Änderungen sind: 1) man ersetze   durch   und 2) schränke   durch   ein. Damit erhält man:

  • Die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten liegen auf einem festen Kreis mit Radius   Dabei muss   sein.

Orthoptische Kurve einer Astroide

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Orthoptische Kurve (lila) einer Astroide

Eine Astroide lässt sich durch die Parameterdarstellung

 

beschreiben. Mit Hilfe der Bedingung   stellt man fest, in welchem Abstand   (im Parameterbereich) sich eine zu   orthogonale Tangente befindet. Unabhängig vom Parameter   ergibt sich, dass   gilt. Die Gleichungen der (orthogonalen) Tangenten in den Punkten   und   sind:

 
 

Ihr Schnittpunkt hat die Koordinaten:

 
 

Dies ist zugleich eine Parameterdarstellung der zugehörigen orthoptischen Kurve. Eliminiert man den Parameter   so ergibt sich die implizite Darstellung

 

Führt man den neuen Parameter   ein, so ergibt sich (Beweis: Additionstheoreme):

 
 

Hieran lässt sich die einfache Polardarstellung

 

ablesen.

  • Die orthoptische Kurve einer Astroide ist ein Vierblatt (Quadrifolium).

Isoptische Kurven von Parabel, Ellipse und Hyperbel

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Isoptische Kurven (lila) einer Parabel für die Winkel 80 bzw. 100 Grad
 
Isoptische Kurven (lila) einer Ellipse für die Winkel 80 und 100 Grad
 
Isoptische Kurven (lila) einer Hyperbel für die Winkel 80 und 100 Grad

Im Folgenden werden die isoptischen Kurven zu einem Schnittwinkel   angegeben und als  -isoptische Kurven bezeichnet. Zu den Beweisen s. unten.

Gleichungen der isoptischen Kurven

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Parabel

Die  -isoptischen Kurven der Parabel mit der Gleichung   sind die Äste der Hyperbel

 

Die beiden Äste der Hyperbel liefern die isoptischen Kurven für die beiden Winkel   (s. Bild).

Ellipse

Die  -isoptischen Kurven der Ellipse mit der Gleichung   sind Teile der Kurve 4. Grades

  (s. Bild).
Hyperbel

Die  -isoptischen Kurven der Hyperbel mit der Gleichung   sind Teile der Kurve 4. Grades

 

Die isoptischen Kurven von Ellipse und Hyperbel sind spirische Kurven.

Parabel

Eine Parabel   lässt sich durch die Tangentensteigung   parametrisieren:

 

Die Tangente mit der Steigung   hat die Gleichung

 

Ein Punkt   liegt auf der Tangente, wenn

 

gilt, das heißt, die Steigungen   der beiden Tangenten durch   erfüllen die quadratische Gleichung

 

Damit der Schnittwinkel der beiden Tangenten   oder   ist, muss

 

gelten. Löst man die quadratische Gleichung für   setzt die beiden Lösungen   in die letzte Gleichung ein, ergibt sich nach Beseitigung der Nenner, die   enthalten, die Gleichung

 

Dies ist die obige Hyperbelgleichung, deren Äste die beiden isoptischen Kurven der Parabel zu den Winkeln   und   sind.

Ellipse

Für eine Ellipse   kann man den Ansatz für die orthoptische Kurve bis zur quadratischen Gleichung

 

übernehmen. Hier muss man, wie im Parabelfall, die quadratische Gleichung lösen, die Lösungen   in die Gleichung   einsetzen und die Nenner beseitigen. Es ergibt sich die behauptete Gleichung 4. Grades:

 
Hyperbel

Die Lösung für den Hyperbelfall ergibt sich aus dem Ellipsenfall durch die Ersetzung von   durch   (wie bei den orthoptischen Kurven, siehe oben).

Bemerkung: Zur Visualisierung der Kurven siehe implizite Kurve.

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Literatur

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  • Boris Odehnal: Equioptic Curves of Conic Sections. In: Journal for Geometry and Graphics. Band 14, 2010, Nr. 1, S. 29–43.
  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Band III, Vieweg, 1977, ISBN 3-528-03058-5, S. 220.
  • Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867 (Google Books), 2. Teil, S. 186.
  • Maurizio Ternullo: Two new sets of ellipse related concyclic points. In: Journal of Geometry. 2009, 94, S. 159–173.
  • Thierry Dana-Picard, Nurit Zehavi, Giora Mann: From conic intersections to toric intersections: The case of the isoptic curves of an ellipse. In: The Mathematics Enthusiast. Band 9, Artikel 4 (PDF; 1,6 MB).

Einzelnachweise

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  1. Quadrifolium in der englischsprachigen Wikipedia.