Pentagonikositetraeder

chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt

Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.

3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders (Animation)
Drahtgittermodell eines Pentagonikositetraeders
Netz des Pentagonikositetraeders

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

Entstehung

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Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder
 
Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle)

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term   den Kosinus des kleineren Zentriwinkels   im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.[1]

 

Sei   die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

 
 

Daraus folgt:[2]

 

Verwandte Polyeder

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Für das Polyeder

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Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b[3]
Volumen[4]
≈ 12,45a3 ≈ 35,63b3
 
Oberflächeninhalt[4]
≈ 27,19a2 ≈ 54,8b2
 
Kantenkugelradius[4]  
Inkugelradius[4]  
Flächenwinkel[4]
 ≈ 136° 18′ 33″
 
Sphärizität
 ≈ 0,9556
 

Für die Begrenzungsflächen

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Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders
Größen des Tangentenfünfecks[3]
Flächeninhalt[4]  
Inkreisradius[4]  
Diagonale[4]    
Stumpfe Winkel[4](4)
 ≈ 114° 48′ 43″
 
Spitzer Winkel (1)
 ≈ 80° 45′ 6″
 

Anmerkungen

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  1. t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t3 + 4t2 − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.
  2. Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.
  3. a b Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)
  4. a b c d e f g h i Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.
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Commons: Pentagonikositetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Pentagonikositetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen