Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Poisson-Algebra

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra $A$ ist eine kommutative, assoziative $R$ -Algebra $(A,\cdot )$ mit einer $R$ -bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

\{-,-\}:A\times A\to A

,

genannt Poisson-Klammer, so dass

$(A,\{-,-\})$ eine Lie-Algebra über $R$ ist,
die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}

.^[1]

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer $\{-,-\}$ stehen dabei für einen Platzhalter.

Erläuterungen

Der $R$ -Modul $A$ ist mit zwei $R$ -bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation $\cdot \colon A\times A\to A$ und der Poisson-Klammer $\{-,-\}\colon A\times A\to A$ .

Für die Multiplikation $\cdot$ und $f,g,h\in A$ gilt

Kommutativität:

f\cdot g=g\cdot f

Assoziativität:

f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h

Für die Poisson-Klammer $\{-,-\}$ und $f,g,h\in A$ gilt

Antisymmetrie:

\{f,g\}=-\{g,f\}

und

\{f,f\}=0

Leibnizregel:

\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}

Jacobi-Identität:

\{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}

Für ein $f\in A$ ist die Poisson-Klammer $D_{f}(-):=\{f,-\}$ eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).

Poisson-*-Algebra

Falls $A$ eine Poisson-Algebra über $\mathbb {C}$ ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für $\{-,-\}$ folgendes

{\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}

erfüllt, so nennt man $A$ eine Poisson-*-Algebra.^[2]

Beispiele

Sei $M$ eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer $\{-,-\}$ auf dem Raum der glatten Funktionen $C^{\infty }(M)$ , dann ist das Paar $(C^{\infty }(M),\{-,-\})$ eine Poisson-Algebra.

Literatur

Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6.
Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8.

Weblinks

Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics

Einzelnachweise

↑ Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11.
↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.

[1] Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11.

[2] Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20.

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