Projektionssatz

mathematischer Satz

Der Projektionssatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionalanalysis. In letzter Konsequenz werden mit ihm partielle Differentialgleichungen konstruktiv gelöst. Er ist ein Beispiel dafür, wie in der Funktionalanalysis geometrische Überlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten führen. Letztlich wird ein Vektor bezüglich eines gegebenen Untervektorraums in zwei Komponenten zerlegt. Dabei liegt eine Komponente in dem gegebenen Untervektorraum und die andere ist senkrecht dazu. Man sagt, die erste Komponente ist die Orthogonalprojektion des Vektors auf den Untervektorraum.

Sei   ein abgeschlossener Untervektorraum eines Hilbertraums   mit dem Skalarprodukt  . Dann gibt es für alle   genau ein   und genau ein   mit  .[1]

Dabei ist   für alle   das orthogonale Komplement von  . Der Name Projektionssatz rührt daher, dass durch die Zuordnung   die Orthogonalprojektion auf   gegeben ist.

Beweisskizze

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Zunächst betrachtet man zu einem   den Abstand   zu  .

Es existiert eine Folge  , mit  . Mit Hilfe der Parallelogrammgleichung zeigt man, dass   eine Cauchyfolge ist. Da   abgeschlossen und   vollständig ist, konvergiert   gegen ein   mit  .

Nun zeigt man, dass   senkrecht auf   steht, also dass   für alle   gilt. Mit   erhält man  . Da für   gilt  , also  , ist die Summe direkt.

Konsequenzen

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Man beachte, dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar, wenn auch sehr abstrakt ist. Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum. Neben den oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens gesichert. Der Projektionssatz führt zur Existenz eines vollständigen Orthonormalsystems in Hilberträumen. Schließlich ist der Projektionssatz eines der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz.

Verallgemeinerung

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Sei   eine abgeschlossene, konvexe, nichtleere Teilmenge eines Hilbertraums. Dann gibt es für jedes   genau ein  , so dass der Abstand minimal wird, es gilt also  .[2]

Einzelnachweise

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  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.7
  2. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 11.4