In der Mathematik lassen sich projektive Mannigfaltigkeiten lokal durch projektive Koordinaten beschreiben. Zu den projektiven Mannigfaltigkeiten gehören unter anderem flache Mannigfaltigkeiten und hyperbolische Mannigfaltigkeiten und zahlreiche weitere in Differentialgeometrie und Topologie vorkommende Beispiele.

Definition

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Der projektive Raum   ist der Raum der 1-dimensionalen Untervektorräume des  . Die projektive lineare Gruppe   wirkt als Gruppe der invertierbaren projektiven Abbildungen auf  .

Eine projektive Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Atlas mit Karten-Abbildungen in den projektiven Raum und projektiven Abbildungen als Kartenübergängen.

Genauer: Die n-dimensionale Mannigfaltigkeit   hat eine offene Überdeckung   mit Homöomorphismen

 ,

so dass für alle  

 

die Einschränkung einer Abbildung aus   ist.

Analog kann man komplex projektive Mannigfaltigkeiten definieren, hier gehen die Kartenabbildungen in den komplex-projektiven Raum   und die Kartenübergänge sind Einschränkungen von Abbildungen in  .

Konvex projektive Mannigfaltigkeiten

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Eine projektive Mannigfaltigkeit heißt konvex projektiv, wenn sie von der Form   für eine konvexe Teilmenge   und eine diskrete Untergruppe   ist.

Beispiele

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Hyperbolische Mannigfaltigkeiten

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Hyperbolische Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv: das Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes, seine Isometriegruppe ist  .

Flache Mannigfaltigkeiten

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Flache Mannigfaltigkeiten sind konvex projektiv: der euklidische Raum ist eine konvexe Teilmenge des projektiven Raumes, seine Isometriegruppe ist eine Untergruppe von  .

2-dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten

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Reell projektive Strukturen

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Reell projektive Strukturen auf Flächen wurden von Choi und Goldman klassifiziert. Der Raum der Äquivalenzklassen reell projektiver Strukturen auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche   vom Geschlecht g ist eine abzählbare Vereinigung (16g-16)-dimensionaler offener Zellen.

Der Modulraum der konvex projektiven Strukturen ist eine Zusammenhangskomponente – die Hitchin-Komponente – in der Darstellungsvarietät   der Flächengruppe  .[1]

Komplex projektive Strukturen

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Alle komplex projektiven Strukturen auf Flächen lassen sich durch „Grafting“ entlang gemessener Laminierungen aus hyperbolischen Strukturen konstruieren.[2]

3-dimensionale projektive Mannigfaltigkeiten

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Satz: Sei   eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer der 8 Thurston-Geometrien. Dann ist   entweder eine nicht-orientierbare Seifert-Faserung (und es gibt eine 2-fache Überlagerung mit einer reell projektiven Struktur) oder die Mannigfaltigkeit besitzt eine eindeutige, der Thurston-Geometrie zugrundeliegende, reell projektive Struktur.

Dieser Satz folgt aus der Darstellbarkeit der Thurston-Geometrien   in   mit der Ausnahme, dass im Fall der Produkt-Geometrien   und   die Gruppe   durch die Gruppe   der orientierungserhaltenden Isometrien ersetzt werden muss, die eine Untergruppe vom Index 2 ist.

Im Fall nicht-orientierbarer Seifert-Faserungen gibt es reell projektive Strukturen, die nicht von einer projektiven Darstellung ihrer Thurston-Geometrie kommen (Guichard-Wienhard). Es gibt reell projektive Strukturen auch auf nicht-geometrischen 3-Mannigfaltigkeiten (Benoist), andererseits kann die zusammenhängende Summe   keine reell projektive Struktur haben (Cooper-Goldman).

Literatur

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  • Choi, Suhyoung; Goldman, William M.: The classification of real projective structures on compact surfaces. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 34 (1997), no. 2, 161–171.
  • Cooper, Daryl; Goldman, William M.: A 3-manifold with no real projective structure. http://arxiv.org/abs/1207.2007
  • Goldman, William M. What is… a projective structure? Notices Amer. Math. Soc. 54 (2007), no. 1, 30–33. pdf
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Einzelnachweise

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  1. Choi, Suhyoung; Goldman, William M. Convex real projective structures on closed surfaces are closed. Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), no. 2, 657–661.
  2. Kamishima, Yoshinobu; Tan, Ser P. Deformation spaces on geometric structures. Aspects of low-dimensional manifolds, 263–299, Adv. Stud. Pure Math., 20, Kinokuniya, Tokyo, 1992.