Ein Pseudobetrag ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.

Definition

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Sei   ein unitärer Ring. Eine Abbildung   in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobetrag genannt, wenn für alle   folgende Eigenschaften gelten:

(1)   (Definitheit)
(2)  
(3)   (Submultiplikativität)

Wird (3) verschärft zu

(3a)   (Multiplikativität),

so ist   ein Betrag.

Der Pseudobetrag   heißt nicht-archimedisch, wenn

(4)  

gilt.

Eigenschaften

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  • Für einen Pseudobetrag gelten stets
 
und
  (Dreiecksungleichung).
  • Für einen Pseudobetrag gilt stets  , für einen Betrag gilt sogar  .
  • Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring).
  • Die Funktion
 
definiert die vom Pseudobetrag   induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.

Beispiele

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Sei   ein unitärer Ring mit Pseudobetrag.

Polynomringe mit Pseudobetrag

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Dann sind die Polynomalgebren   in einer bzw.   in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen ein Pseudobetrag.

Matrizenringe mit Pseudobetrag

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Analog sind die Matrizenalgebren   wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit   ein Pseudobetrag auf dem Matrizenring.