Pyramidenstumpf

Körper der Geometrie

Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.

Schiefer Pyramidenstumpf
Netz des Pyramidenstumpfes einer regelmäßigen quadratischen Pyramide. Das Netz besteht aus einer jeweils quadratischen Grundfläche und Deckfläche sowie einer Mantelfläche aus vier kongruenten gleichschenkligen Trapezen.

Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

Dabei stehen für den Flächeninhalt der Grundfläche, für den Flächeninhalt der Deckfläche und für die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Für die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Je schiefer – bei gleichbleibender Höhe – die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.

Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden   als Höhe der Ausgangspyramide und   als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass   gilt. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass

  und daher auch  .

Dabei ist   der Streckfaktor der zentrischen Streckung.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:

 .

Aus   und   folgt  .

Die Substitution   ergibt   und  .

Damit kann man das Volumen umschreiben:

 .

Mit Hilfe der Formel   angewendet auf   und   ist das Volumen

 

oder einfacher

 .

Der Faktor   ist die Höhe  :

 .

Daraus ergibt sich

 

mit dem Wurzelterm   als sogen. „geometrischem Mittel“ des Grund- und Deckflächeninhalts.

Grenzfälle

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Nähern sich Grund- und Deckfläche einem Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe allgemeine Volumenformel gilt. Geht die Höhe der Ausgangspyramide dagegen gegen unendlich, nähert sich der Flächeninhalt der Deckfläche   dem der Grundfläche   und man erhält ein Prisma, dessen Volumenformel sich damit wegen   zu der Formel   vereinfacht. Geht   schließlich gegen Null, erhält man ja nachdem, ob die Grundfläche ein n-Eck oder Kreis ist, eine komplette Pyramide oder einen Kegel mit der allgemeinen Volumenformel  .

Regelmäßiger Pyramidenstumpf

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Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche und als Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen. Der Mittelpunkt der Deckfläche liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

 
Quadratischer Pyramidenstumpf
Größen ohne Raumwinkel   in den Ecken
Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a1 als Grundfläche, regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a2 als Deckfläche und Höhe h)
Allgemeiner Fall Quadratischer Pyramidenstumpf
Volumen    
Oberflächeninhalt    
Flächeninhalt der Grundfläche    
Flächeninhalt der Deckfläche    
Flächeninhalt der Mantelfläche    
Steilkantenlänge    
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche    
Basiswinkel der gleichschenkligen Trapeze    
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Trapezen    
Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Trapezen    
Winkel zwischen Kante und Grundfläche    
Raumwinkel an der Grundfläche  

Siehe auch

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Literatur

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  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.
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Commons: Pyramidenstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Pyramidenstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen