Quadratwurzel einer Matrix

mathematischer Therm

Die Quadratwurzel einer Matrix oder Matrixwurzel ist ein Begriff aus der linearen Algebra und verallgemeinert das Konzept der Quadratwurzel einer reellen Zahl. Eine Quadratwurzel einer quadratischen Matrix ist eine Matrix, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangsmatrix ergibt. Für symmetrische positiv semidefinite Matrizen lässt sich eine eindeutige Quadratwurzel definieren. Im Allgemeinen muss allerdings weder eine Quadratwurzel existieren, noch muss sie, wenn sie existiert, eindeutig sein.

Quadratwurzel einer positiv semidefiniten Matrix

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Definition

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Für eine symmetrische positiv semidefinite Matrix   heißt eine ebenfalls symmetrische positiv semidefinite Matrix   Quadratwurzel oder kurz Wurzel von   falls

 

gilt.[1] Die Quadratwurzel von   ist dabei eindeutig bestimmt und wird mit   bezeichnet.

Darstellung

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Die Quadratwurzel von   ergibt sich wie folgt. Nach dem Spektralsatz existiert eine orthogonale Matrix

 

mit paarweise orthonormalen Eigenvektoren   von   als Spalten und eine Diagonalmatrix

 

mit den diesen Eigenvektoren zugehörigen Eigenwerten   auf der Diagonale, sodass

 

gilt. Die Quadratwurzel von   ergibt sich dann zu

 

wobei die Diagonalmatrix

 

die Quadratwurzeln der Eigenwerte von   auf der Diagonale hat.[1] Nachdem die Eigenwerte einer positiv semidefiniten Matrix   stets reell und nichtnegativ sind, können deren Quadratwurzeln ebenfalls reell und nichtnegativ gewählt werden.

Beispiel

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Die Matrix

 

hat die Eigenwerte   und     und   bilden die zugehörige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Es gilt also

 

zusammengefasst zu

 

und somit

 

Eigenschaften

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Das Quadrat der Matrix   ist die Matrix  

 

Die Matrix   ist symmetrisch:

 

Die Matrix   ist positiv semidefinit (verwendet wird die Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts):

 

für alle   wobei   gilt. Ist   positiv definit, so ist auch   positiv definit.

Quadratwurzeln beliebiger Matrizen

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Definition

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Als Wurzel einer quadratischen Matrix   bezeichnet man jede Matrix   die mit sich selbst multipliziert   ergibt:

 

Man findet auch Quellen, in denen   eine Wurzel von   genannt wird, wenn   gilt.

Für eine Wurzel von   schreibt man auch   Es ist in dieser Notation jedoch unklar, welche Wurzel gemeint ist, da mehrere existieren können.

Anzahl existierender Wurzeln

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Wie schon bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus einer Matrix im Allgemeinen nicht eindeutig. Ist etwa   eine Wurzel aus   dann auch  

Anders als bei der Wurzel einer komplexen Zahl können Matrizen auch mehr als zwei Wurzeln haben.

So haben beispielsweise  -Matrizen, deren charakteristisches Polynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, bis zu   verschiedene Wurzeln.

Es gibt sogar Matrizen mit unendlich vielen Wurzeln. So besitzt etwa die Einheitsmatrix   unter anderem   für jede komplexe Zahl   als Wurzel.

Weiterhin gibt es Matrizen, für die überhaupt keine Wurzel existiert: Ein Beispiel ist  

Geometrische Interpretation von Wurzeln

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Betrachtet man die Matrix   als lineare Transformation, das heißt als eine Abbildung zwischen Vektorräumen, durch die einem Vektor   ein Vektor   zugeordnet wird, dann ist eine Wurzel   eine Transformation, die man zweimal hintereinander ausführen muss, um   in   überzuführen.

Beispiel:

  sei die zweidimensionale Rotationsmatrix mit dem Winkel  

 

Dann ist jede zu einem Winkel   mit einer ganzen Zahl   gehörende Rotationsmatrix eine Wurzel von   Für   erreicht man mit der ersten Multiplikation eines Vektors   mit   eine Drehung um den halben Winkel   und mit der zweiten Multiplikation noch einmal.

Berechnung einer Wurzel

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Man kann Wurzeln einer Matrix   der Größe   leicht bestimmen, wenn   eine Diagonalmatrix ist oder sich zumindest in eine Diagonalform überführen lässt (siehe Diagonalisierung).

Fall 1: Diagonalmatrix

Sind die Diagonaleinträge einer Diagonalmatrix paarweise verschieden, so können alle Wurzeln der Diagonalmatrix einfach bestimmt werden, indem von jedem Eintrag auf der Hauptdiagonale eine Wurzel bestimmt wird. Wenn man die Diagonaleinträge von   wie üblich mit   bezeichnet, erhält man damit als Wurzeln von   die Matrizen

 

Für jedes der   Diagonalelemente kann man das Vorzeichen beliebig wählen, sodass man   paarweise verschiedene Wurzeln erhält, falls alle Diagonaleinträge von Null verschieden sind. Ist ein Diagonaleintrag Null, so erhält man entsprechend   paarweise verschiedene Wurzeln. Da die Matrix   auch negative Werte auf der Diagonalen besitzen kann, können die Wurzeln auch komplexe Zahlen beinhalten.

Es ist zu beachten, dass es noch weitere Wurzeln geben kann, wenn die Diagonaleinträge nicht paarweise verschieden sind. Diese sind dann jedoch keine Diagonalmatrizen. So hat etwa die Einheitsmatrix unendlich viele Wurzeln, wie bereits oben erklärt wurde. Diagonalmatrizen mit negativen Diagonaleinträgen können in diesem Fall auch reelle Wurzeln besitzen. Zum Beispiel gilt:

 

Fall 2: Diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix   diagonalisierbar, so kann man auf folgende Weise Wurzeln von   ermitteln:

Man bestimmt zunächst eine invertierbare Matrix   und eine Diagonalmatrix  , sodass   gilt. Die Matrix   hat dann als Spalten Eigenvektoren der Matrix   und die Matrix   als Diagonaleinträge die zugehörigen Eigenwerte.

Ist nun   eine Wurzel von   so ist   eine Wurzel der Matrix  , denn es gilt:

 

Da   eine Diagonalmatrix ist, erhält man mögliche Wurzeln wie in Fall 1. Auch hierbei ist zu beachten, dass manche Eigenwerte der Diagonalmatrix negativ sein können, deren Wurzeln sind dann komplex. Falls die Matrix   paarweise verschiedene Eigenwerte hat, erhält man auch wie in Fall 1   bzw.   verschiedene Lösungen.

Fall 3: Nicht diagonalisierbare Matrix

Ist die Matrix   nicht diagonalisierbar, lässt sich mit dem gezeigten Verfahren keine Wurzel berechnen. Dies bedeutet aber nicht, dass   keine Wurzel besitzt: So ist beispielsweise die Scherungs-Matrix   nicht diagonalisierbar, besitzt jedoch die Wurzel  

Falls wir beim Rechnen komplexe Zahlen zulassen, so ist jede Matrix   auf jordansche Normalform transformierbar, auch wenn sie nicht diagonalisierbar ist.

Man bestimmt Matrizen   ihre Inverse   und   mit   wobei   die folgende Blockdiagonalform hat:

 

Die   sind Jordan-Blöcke der Form

 

Eine Wurzel aus   berechnet sich gemäß

 

Die Wurzel aus   ist aus jedem Jordan-Block   einzeln zu ziehen.

Falls   gilt, ist die Potenz   eines Jordan-Blocks   durch

 

gegeben mit   wobei   die  -te Ableitung der Potenzfunktion   ist. Explizit ergibt sich   und   wobei die Größe des Jordan-Blocks   mit   (in der Darstellung  ), die Subdiagonalen mit   (  ist die Diagonale) und die Gammafunktion mit   bezeichnet sind. Für die Quadratwurzel ist   zu setzen.

Für   ergibt sich also beispielsweise

 

Falls   und gleichzeitig   gilt, existiert die Wurzel aus dem Jordan-Block   nicht.

Außerhalb der Jordan-Blöcke stehen lauter Nullen.

Falls   so hat die Zahl   zwei Wurzeln, daher erhält man auf diese Weise für jeden Jordan-Block   zwei verschiedene Wurzeln. So entstehen durch Kombination   Wurzeln, wobei   die Anzahl der Jordan-Blöcke   bezeichnet.

Mit diesem Verfahren bekommt man im Allgemeinen nur einige und nicht alle Quadratwurzeln einer Matrix.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b Christian Kanzow: Numerik linearer Gleichungssysteme. Direkte und iterative Verfahren. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2005, S. 13–15.