Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.[1]

Definitionen

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Es seien   und   zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt   ist eine Norm  , so dass

  •   ist eine normierte Algebra
  •   für alle  

Ist   eine solche C*-Norm, so ist die mit   bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist   eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren   und   definieren lässt, so spricht man von einem  -Tensorprodukt.[2]

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt   für alle  .[3]

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit   bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das   wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion

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Es seien   und   zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume   und   und isometrische *-Homomorphismen   und  , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt   und betrachtet ein Element   des algebraischen Tensorproduktes   als Operator auf  , der durch

 

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung   der Operatornorm von   auf   eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen

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Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind   und   Zustände auf   bzw.  , so gibt es genau einen mit   bezeichneten Zustand auf   mit   für alle   und  , den sogenannten Produktzustand aus   und  . Für ein Element   des algebraischen Tensorproduktes   gilt nun

 

wobei das Supremum über alle Zustände   von  ,   von   und   mit   gebildet wird[4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird   an Stelle von   geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise  .

Eigenschaften

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  • Sind   und   *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit   bezeichneten *-Homomorphismus  , so dass   für alle  . Sind beide   und   isometrisch oder *-Isomophismen, so hat   dieselbe Eigenschaft.[5]
  • Ist   eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt  , so ist   [6][7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise  .

Beispiele

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Seien   eine C*-Algebra und   ein kompakter Hausdorffraum.   sei die Menge aller stetigen Funktionen  . Für  ,   und   definiere:

 .

Damit wird   zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus  .[8]

Seien   die C*-Algebra der komplexen  -Matrizen und   eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum   operiere. Weiter sei   die Algebra der  -Matrizen mit Einträgen aus  ; diese operiert in üblicher Weise auf  , das heißt

 

Dadurch trägt   die Norm von   und man zeigt, dass  , wobei   auf   abgebildet wird.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
  6. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
  8. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

Literatur

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  • Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1