S-Zahlenfunktion

Eine s-Zahlenfunktion ist eine in der Funktionalanalysis gebräuchliche Abbildung s, die für Banachräume E und F jedem Operator $T\in {\mathcal {L}}(E,F)$ eine Folge $(s_{n}(T))$ mit folgenden Eigenschaften zuordnet:

1. Monotonie: $\|T\parallel =s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq ...\geq 0,\;T\in {\mathcal {L}}(E,F)$
2. Additivität: $s_{n}(S+T)\leq s_{n}(S)+\|T\parallel$ für $S,T\in {\mathcal {L}}(E,F)$
3. Idealeigenschaft: $s_{n}(RST)\leq \left\|R\right\|s_{n}(S)\|T\parallel ,\;T\in {\mathcal {L}}(E_{1},E),S\in {\mathcal {L}}(E,F),R\in {\mathcal {L}}(F,F_{1})$
4. Rangeigenschaft: $s_{n}(T)=0$ für $T\in {\mathcal {F}}(E,F)$ mit $\operatorname {rang} \,T<n$
5. Normierung:$s_{n}(id:{l_{2}}^{n}\rightarrow {l_{2}}^{n})=1$

Der Wert $s_{n}(T)$ wird als n-te s-Zahl von T bezeichnet.

Die Approximationszahlen, die Gelfandzahlen, die Kolmogorowzahlen, die Weylzahlen und die Tichomirovzahlen sind additive s-Zahlenfunktionen. Der prominenteste Vertreter der pseudo-s-Zahlenfunktionen sind die Entropiezahlen.

Literatur

• Hermann König: Eigenvalue distribution of compact operators. In: Integral Equations and Operator Theory. Band 9, Nr. 4. Birkhauser Verlag, Juli 1986, ISSN 0378-620X, S. 610–612, doi:10.1007/BF01204633 (enthält Einführung in die Theorie der s-Zahlen).