Satz von Eilenberg-Zilber

mathematischer Satz

Der Satz von Eilenberg-Zilber, benannt nach S. Eilenberg und J. A. Zilber, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er stellt einer Verbindung zwischen den singulären Homologiegruppen eines kartesischen Produktes zweier topologischer Räume und Homologiegruppen der Räume selbst her.

Tensorprodukte von Kettenkomplexen

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Sind   und   zwei Kettenkomplexe, so sei das Tensorprodukt   der Kettenkomplex   mit

 
 , wobei  .

Damit ist   auf Erzeugern erklärt, und die Rechnung

 
 

zeigt, dass tatsächlich wieder ein Kettenkomplex vorliegt.

Wenn die Randoperatoren   bzw.   nicht besonders erwähnt werden sollen, so schreibt man auch einfach  , das gilt insbesondere für singuläre Kettenkomplexe   topologischer Räume  , bei denen die Randoperatoren gegeben sind.

Formulierung des Satzes

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Sind   und   topologische Räume, so ist der singuläre Kettenkomplex   des Produktraumes ketten-homotopieäquivalent zum Tensorprodukt  .[1][2]

Bedeutung

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Wegen der Homotopieäquivalenz haben   und   dieselben Homologiegruppen. Die Berechnung der singulären Homologiegruppen eines Produktraumes ist daher auf ein Problem der homologischen Algebra zurückgeführt, nämlich auf die Berechnung der Homologie eines Tensorproduktes von Kettenkomplexen. Dieses algebraische Problem ist durch den Satz von Künneth gelöst.

Einzelnachweise

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  1. Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homotopy and Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 212 (1975), ISBN 3-540-06758-2, Theorem 13.30
  2. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, Springer-Verlag (1966), ISBN 0-387-90646-0, Kapitel 5, §3, Theorem 6