Satz von Jegorow

mathematischer Satz

Der Satz von Jegorow ist ein Satz aus der Maßtheorie, der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz μ-fast überall und fast gleichmäßiger Konvergenz zeigt. Teils finden sich auch die Schreibweisen Satz von Egorow, Satz von Egorov oder Satz von Egoroff, die auf eine Übertragung des Namens ins Englische oder Französische zurückzuführen sind. Der Satz ist nach Dmitri Fjodorowitsch Jegorow benannt, der ihn 1911 bewies. Die Aussage wurde bereits 1910 von Carlo Severini gezeigt, weshalb sich auch die Benennung als Satz von Egorov-Severini (oder verwandte Schreibweisen) findet[1].

Gegeben sei ein endlicher Maßraum   sowie messbare Funktionen

 .

Konvergiert die Funktionenfolge   punktweise μ-fast überall gegen  , so konvergiert sie auch fast gleichmäßig gegen  .[2][3]

Wir führen den Beweis für  .

Man betrachte für alle   jeweils die Menge der Punkte, auf denen mindestens ein  , für  , stärker als   von   abweicht:

 

Es ist klar, dass  , da mit größer werdendem   Terme in der Vereinigung weggelassen werden. Da außerdem  , können wir Stetigkeit von Oben ausnutzen und erhalten:

 

Letztere Gleichheit folgt, da die Menge der Punkte, für die   für ein   gilt, per Annahme Maß 0 hat. Sei nun  , dann existiert für alle   ein  , so dass:

 

Also ist das Maß der Punkte, für die   (für  ) noch um mehr als   von   abweicht, beliebig klein. Wir vereinigen nun alle   und stellen fest, dass das Maß der Vereinigung immer noch beliebig klein ist (dabei verwenden wir σ-Subadditivität):

 

Auf dem Komplement dieser Vereinigung,  , konvergieren die   gleichmäßig gegen  , denn für beliebiges  , finden wir  , so dass für   gilt:

 

Zusammenfassend haben wir eine Menge gefunden,  , deren Komplement in   beliebig kleines Maß hat und auf der die   gleichmäßig gegen   konvergieren.

Bemerkungen

Bearbeiten
  • Man hätte zulassen können, dass   auf einer Menge mit Maß 0 den Wert unendlich annimmt, indem der Beweis mit   anstelle von   durchgeführt wird.
  • Weiter kann die Bedingung   nicht weggelassen werden, wie das Beispiel   auf   zeigt, siehe unten.
  • Außerdem ist es im Allgemeinen nicht möglich, eine Menge zu finden, auf der die Konvergenz gleichmäßig ist und deren Komplement Maß 0 hat.
  • Da aus der fast gleichmäßigen Konvergenz immer die Konvergenz fast überall folgt, liefert der Satz von Jegorow im Fall eines endlichen Maßraumes die Äquivalenz der beiden Konvergenzarten.

Beispiel

Bearbeiten

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Aussage bei nicht endlichen Maßräumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

 

auf dem Maßraum  , so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise (fast überall) gegen 0, denn für beliebiges   ist für   immer

 .

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn ist  , so gilt für jede messbare Menge   mit Maß kleiner   und jedes  , dass  , denn   hat Maß 1, kann also nicht in   enthalten sein, und daher

 

für alle  , das heißt auf keinem Komplement einer Menge des Maßes kleiner   kann gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Ursprüngliche Formulierung

Bearbeiten

In der Originalarbeit von Jegorow wurde der Satz nur für Funktionen auf einem Intervall formuliert:

Théorème – Si l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les point d'un intervalle AB sauf, peut-être, les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra tourjours enlever de l'intervalle AB un ensemble de mesure   aussi petite qu'on voudra e tel que pour l'ensemble complémentaire [ de mesure =   ] la suite est uniformément convergente.[4]

Übersetzung: Wenn man eine Folge messbarer Funktionen hat, die für alle Punkte eines Intervalls AB konvergiert, bis auf möglicherweise die Punkte einer Menge des Maßes null, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge des Maßes  , das so klein ist wie man auch will, entfernen, so dass die Folge auf der Komplementmenge [ mit Maß   ] gleichmäßig konvergent ist.

Der heutige Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz war noch nicht in Verwendung. Jegorow schlug in derselben Arbeit vor, diese Konvergenz nach Hermann Weyl wesentlich gleichmäßig zu nennen.

Verallgemeinerungen

Bearbeiten

Der Satz von Jegorow gilt auch für messbare Funktionen, die Werte in einem separablen metrischen Raum annehmen.

Siehe auch

Bearbeiten
  • Vektorielles Maß: für eine Verallgemeinerung des Satzes für Maße mit Werten in einem Banachraum

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. L.D. Kudryavtsev: Egorov theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. Elstrodt: Maß- und Integriationstheorie. 2009, S. 252.
  3. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 3.1.3: Egoroff's theorem
  4. D. Th. Egoroff: Sur les suites des fonctions mesurables: Comptes rendus 152 (1911), Seiten 244–246