Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Satz aus der stochastischen Zahlentheorie

Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein mathematischer Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte

unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von , welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.

Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das -te Moment von , welche das Theorem für das Argument impliziert.[1][2] Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.[3]

Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.

Selbergs zentraler Grenzwertsatz

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Notation:

  •   ist die komplexe Standardnormalverteilung, das heißt  
  •   ist die stetige Gleichverteilung auf  .

Komplexe Variante des Theorems

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Sei   eine genügend große Zahl und  . Definiere  , dann konvergiert die Zufallsvariable   in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.

In Formeln:

 

Reelle Variante des Theorems

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Aus der Beziehung

 

folgt insbesondere für den reellen Teil

 

und für den imaginären Teil

 

Erläuterungen

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Die Zufallsvariable   nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz

 

Entfernen von Log(0)

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Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable

 

Selbergs Variante für den k-ten Moment

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Selberg bewies für positive ganzzahlige  [4]

 

Der Fall   wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.[3]

Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus

 

wobei   das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Atle Selberg: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function. In: Arch. Math. Naturvid. Band 48, Nr. 5, 1946, S. 89–155.
  2. Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs].
  3. a b Kai Man Tsang: The distribution of the values of the Riemann zeta-function. Hrsg.: Princeton University. Oktober 1984 (Doktorarbeit).
  4. Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011, S. 7 (researchgate.net – Masterarbeit).