Stark konvexe Räume sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete normierte Räume, die einer speziellen Konvexitätsbedingung genügen. Diese ist eine geometrische Eigenschaft, die unter anderem zur Folge hat, dass der Rand der Einheitskugel keine „großen“ konvexen Mengen enthält. Dieser Begriff geht auf Witold Lwowitsch Schmulian zurück.[1]

Stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge wird beliebig klein.
Kein stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge hat stets einen positiven Durchmesser.

Definitionen

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Für einen normierten Raum   sei   die Einheitskugel sowie   die um den Faktor   gestreckte Kugel, das heißt die Kugel um 0 mit Radius  . Für eine Teilmenge   sei   der Durchmesser dieser Menge und   der Abstand eines Punktes   zu dieser Menge.

Ein normierter Raum   heißt stark konvex, falls für jede nicht-leere konvexe Menge   gilt:

  für  .[2]

Beispiele und Eigenschaften

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  • Wie nebenstehende Zeichnungen verdeutlichen, ist der   mit der euklidischen Norm stark konvex, mit der Summennorm hingegen nicht. Dies zeigt auch, dass starke Konvexität von der Norm abhängt und nicht nur von der Isomorphieklasse des Raums.
  • Gleichmäßig konvexe Räume sind stark konvex, stark konvexe Räume sind strikt konvex, die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht.[3]
  • Nach Ky Fan und Irving Glicksberg hat jeder stark konvexe Raum die Radon-Riesz-Eigenschaft und ist umgekehrt jeder reflexive, strikt konvexe Raum mit der Radon-Riesz-Eigenschaft stark konvex.[4][5]
  • Es seien   der Folgenraum der absolut-summierbaren Folgen mit der Norm   sowie   der Folgenraum der quadratisch-summierbaren Folgen mit der Norm  . Bekanntlich ist   und durch   wird eine zu   äquivalente Norm auf   definiert. Dann ist   strikt konvex, hat die Radon-Riesz-Eigenschaft (sogar die stärkere Schur-Eigenschaft), ist aber nicht stark konvex.

Äquivalente Charakterisierungen

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Es stellt sich heraus, dass man in der Definition der starken Konvexität nicht alle konvexen Mengen des normierten Raumes   betrachten muss, es genügt, sich auf abgeschlossene Halbräume zu beschränken. Diese kann man bekanntlich durch die Realteile stetiger, linearer Funktionale, das heißt durch Elemente des Dualraums  , beschreiben. Das spiegelt sich in der folgenden Liste äquivalenter Aussagen über einen normierten Raum   wider:[6]

  •   ist stark konvex.
  • Für jedes  ,  , gilt   für  .
  • Ist   eine Folge in   mit   für alle Folgenglieder und ist  ,  , mit  , so ist die Folge eine Cauchy-Folge.
  • Sind   nicht leer und konvex,   und   eine Folge in   mit  , so ist die Folge eine Cauchy-Folge.

Die Cauchy-Folgen in obigen äquivalenten Charakterisierungen sind im Allgemeinen wegen fehlender Vollständigkeit nicht konvergent. Unter Berücksichtigung der Vollständigkeit erhält man, dass für einen normierten Raum   folgende Aussagen äquivalent sind:[7]

  •   ist ein stark konvexer Banachraum.
  • Ist   eine Folge in   mit   für alle Folgenglieder und ist  ,  , mit  , so konvergiert die Folge.
  • Sind   nicht leer, abgeschlossen und konvex,   und   eine Folge in   mit  , so konvergiert die Folge in  .
  •   ist reflexiv, strikt konvex und hat die Radon-Riesz-Eigenschaft.

Einzelnachweise

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  1. V. L. Schmulian: Sur la dérivabilité de la norme dans l'espace de Banach, Doklady Acad. Sci. URSS (1940), Band 27, Seiten 643–648
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.3.15
  3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.3.16
  4. K. Fan, I. Glicksberg: Some geometric properties of the speres in a normed space, Duke Math. J (1958), Band 25, Seiten 553–568
  5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.22 und 5.3.23
  6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.17 und 5.3.20
  7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Korollar 5.3.18, Theorem 5.3.21, sowie 5.33