Stationäre Raumzeit

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird eine Raumzeit als stationär bezeichnet, wenn sie ein zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt. Dabei verwenden einige Autoren (z. B. Ludvigsen) die Bezeichnung „stationäre Raumzeit“ auch bei asymptotisch flachen Raumzeiten, welche lediglich ein Killing-Vektorfeld besitzen, das asymptotisch zeitartig ist, d. h., die Killing-Vektoren werden im Grenzfall großer Entfernung zeitartig. Andere Autoren (Hawking and Ellis) bezeichnen eine Raumzeit, welche lediglich ein asymptotisch zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt als asymptotisch stationär, noch andere (Carroll) verwenden die Bezeichnung inkonsistent.

Entlang eines Killing-Vektorfeldes ist der Metrische Tensor invariant. Anschaulich bedeutet dies, dass es Beobachter gibt, für die sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht ändert.

Zusammensetzung des Linienelements einer stationären Raumzeit

Ein Beobachterfeld $U$ in einer Raumzeit $(M,g)$ heißt stationär, wenn es eine positive Funktion $f\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ^{+})$ gibt, sodass $fU$ ein Killing-Vektorfeld ist. Besitzt die Raumzeit ein stationäres Beobachterfeld, so heißt sie stationär. In den Koordinaten eines stationären Beobachters sind die Komponenten $g_{\mu \nu }$ des Metrischen Tensors unabhängig von der Zeitkoordinate. Das Linienelement (mit Signatur $(+,-,-,-)$ und $i,j=1,2,3$) einer stationären Raumzeit lässt sich daher auf die Form

$\mathrm {d} s^{2}=\lambda (\mathrm {d} t-\omega _{i}\,\mathrm {d} y^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,\mathrm {d} y^{i}\,\mathrm {d} y^{j}\,,$

bringen, wobei $t$ die Zeitkoordinate, $y^{i}$ die drei räumlichen Koordinaten und $h_{ij}$ der metrische Tensor des dreidimensionalen Raums ist. In diesen Koordinaten hat das Killing-Vektorfeld $\xi ^{\mu }$ die Komponenten $\xi ^{\mu }=(1,0,0,0)$. $\lambda$ ist ein positiver Skalar der die Norm des Killing-Vektorfelds bestimmt, d. h. $\lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }$, und $\omega _{i}$ ein Dreiervektor der die Rotation (englisch twist) der Raumzeit bestimmt. Dieser Vektor berechnet sich aus den räumlichen Komponenten des Twist-Vektors $\omega _{\mu }=\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }$(siehe beispielsweise S. 163) zusammen, der als antisymmetrisches Produkt des Killing-Vektorfelds und seiner kovarianten Ableitung $\nabla$, mit Hilfe des Epsilon-Tensor $\varepsilon$ berechnet wird.

Twist-Vektor und dessen Interpretation

Der Twist-Vektor beschreibt, wie stark die Orientierung des Killing-Vektorfelds von den Flächennormalen der raumartigen Hyperflächen abweicht. Wenn das Killing-Vektorfeld orthogonal zu den raumartigen Hyperflächen ist, d. h., es gilt $\omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0$, dann ist das Killing-Vektorfeld rotationsfrei und der Dreiervektor $\omega _{i}$ verschwindet. Eine solche Raumzeit wird statisch genannt.

Aus dieser Definition folgt, dass eine statische Raumzeit immer stationär ist, eine stationäre Raumzeit aber nicht statisch sein muss.

Beispiele

• Eine flache Raumzeit wird durch eine Minkowski-Metrik beschrieben und ist stationär und statisch.
• Die Raumzeit einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel, wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär und asymptotisch statisch.
• Das Gravitationsfeld eines nicht geladenen, rotierenden schwarzen Lochs wird durch die Kerr-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär aber nicht asymptotisch statisch.
• Eine Raumzeit mit Gravitationswellen ist weder stationär noch statisch.