Stetige Funktion mit kompaktem Träger

Begriff aus der Analysis

Eine stetige Funktion mit kompaktem Träger ist eine spezielle stetige Funktion, die außerhalb eines Kompaktums nur den Wert 0 annimmt. Solche Funktionen spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle, ebenso in der Stochastik und der Maßtheorie, wo sie als trennende Familie für Mengen von Maßen und die Definition von Konvergenzbegriffen verwendet werden.

Definition

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Gegeben sei ein topologischer Raum   und ein normierter Raum   sowie eine Abbildung

 .

Die Abbildung   heißt eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, wenn der Träger der Funktion, also die Menge

 

eine kompakte Menge ist und die Abbildung stetig ist. Es gilt also, dass die Urbilder offener Mengen (bezüglich der von   erzeugten Topologie) unter   wieder offen sind, also in   enthalten sind. Ist   ein metrischer Raum, so bedeutet dies, dass für alle Folgen  , die gegen   konvergieren, die Bildfolge   gegen   konvergiert.

Die Menge aller stetigen Funktionen mit kompaktem Träger wird meist mit   oder   bezeichnet. Ist klar, um welche Räume es sich handelt, verzichtet man auch auf deren Angabe, dementsprechend finden sich für   oft die Bezeichnungen   oder  

Struktur

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Definiert man die Addition und die Skalarmultiplikation in   punktweise, also

 ,

so ist   ein Vektorraum.

Des Weiteren ist jede stetige Funktion mit kompaktem Träger auch eine beschränkte Funktion.

Denn ist exemplarisch   ein metrischer Raum, so existiert aufgrund der Stetigkeit zu jedem Punkt   ein  , so dass

 

Überdeckt man nun den Träger von   mit den offenen Mengen  , so existiert aufgrund der Kompaktheit eine endliche Indexmenge  , so dass   den Träger überdeckt. Somit gilt

 .

Also ist   beschränkt.   ist damit ein Unterraum von  , dem Raum der beschränkten Abbildungen. Für topologische Räume kann man diese Argumentation mithilfe einer Überdeckung des Trägers mit Mengen der Form   verallgemeinern.

Aufgrund der Beschränktheit ist die Definition der Supremumsnorm auf   durch

 

sinnvoll und macht   zu einem normierten Raum.

Übergeordnete Strukturen

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  ist ein Unterraum von  , dem Raum der stetigen, im Unendlichen verschwindenden Funktionen und der beschränkten stetigen Funktionen  , es gelten also die Implikationen

 .

Außerdem ist für ein lokal endliches Maß (bzw. Borel-Maß)   auf einem Hausdorffraum   jede stetige Funktion mit kompaktem Träger auch integrierbar, da

 

da   aufgrund der lokalen Endlichkeit. Somit ist in diesem Fall  .

Untergeordnete Strukturen

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Ein wichtiger Unterraum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger sind die Testfunktionen.

Wichtige Aussagen

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Nach dem Darstellungssatz von Riesz-Markow lässt sich in einem lokalkompaktem Hausdorffraum   jede positive Linearform

 

darstellen als

 ,

wobei   ein eindeutig bestimmtes Radon-Maß ist. Dabei heißt eine Linearform positiv, wenn aus   immer   folgt.

Literatur

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