Stochastische Geometrie

mathematische Beschreibung zufälliger geometrischer Strukturen

Die Stochastische Geometrie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von zufälligen geometrischen Strukturen, wie Punkten oder Liniensegmenten oder komplizierteren Mengen im Raum oder der Ebene. Wichtige Grundlagen sind zufällige Mengen, insbesondere zufällige abgeschlossene Mengen, Punktprozesse und zufällige Maße.

Eine wichtige Anwendung liegt in der stereologischen Gewinnung von Aussagen über räumliche Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten.

Verschiedene Modelle der statistischen Mechanik (insbesondere werden hier Gittermodelle in zwei Dimensionen betrachtet) wie die Perkolationstheorie ergeben ebenfalls zufällige geometrische Strukturen, die mathematisch streng mit der Methode der Schramm-Löwner-Evolution behandelt werden können.

Punktprozesse

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Zufällige abgeschlossene Menge

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Boolesches Modell

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Beispiel eines booleschen Modelles für einen Poisson-Prozess  

Boolesche Modelle sind einfache Beispiele für zufällige geschlossene Mengen. Es handelt sich dabei um ein Keim-Korn-Modell.

Sei   ein homogener Poisson-Punktprozess auf   mit Intensität  . Sei   eine zufällige kompakte Menge genannt typisches Korn, die unabhängig von   ist und es gelte für alle kompakten Mengen  

 

wobei   und   das  -dimensionale Lebesguemaß bezeichnet.

Sei   eine Folge von iid zufälligen kompakten Mengen auf   genannt Körner, welche die gleiche Verteilung wie   haben und unabhängig von   und   sind. Das boolesche Modell ist definiert als

 

wobei   Keime genannt werden.[1]

Keim-Korn-Modell

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Betrachtet man ein boolesches Modell und ersetzt den Poisson-Punktprozess durch einen allgemeinen Punktprozess, dann spricht man von einem Keim-Korn-Modell. Man betrachtet dabei einen markierten Punktprozess   mit   und kompakten Mengen  , die Terminologie ist analog wie im booleschen Modell.

Literatur

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  • Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8 (Wiley series in probability and statistics).
  • O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall und M. N. M. van Lieshout (Hrsg.): Stochastic Geometry. Likelihood and Computation. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 1998, ISBN 0-8493-0396-6 (Monographs on statistics and applied probability 80).

Einzelnachweise

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  1. Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. Hrsg.: John Wiley & Sons Ltd. ISBN 0-471-95099-8.