Die Stone–Čech-Kompaktifizierung ist eine Konstruktion der Topologie zur Einbettung eines topologischen Raumes in einen kompakten Hausdorff-Raum. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung eines topologischen Raumes ist der „größte“ kompakte Hausdorff-Raum, der als dichte Teilmenge „enthält“. Präzise ausgedrückt bedeutet das, dass jede Abbildung von in einen kompakten Hausdorff-Raum bezüglich eindeutig faktorisierbar ist. Wenn ein Tychonoff-Raum ist, dann ist die Abbildung eine Einbettung. Man kann sich also als dichten Unterraum von vorstellen.

Man benötigt das Auswahlaxiom (etwa in Form des Satzes von Tychonoff), um zu zeigen, dass jeder topologische Raum eine Stone–Čech-Kompaktifizierung besitzt. Auch für sehr einfache Räume ist es sehr schwer, eine konkrete Angabe von zu bekommen. Zum Beispiel ist es unmöglich, einen expliziten Punkt aus anzugeben.

Die Stone–Čech-Kompaktifizierung wurde von Marshall Stone (1937) und Eduard Čech (1937) unabhängig voneinander gefunden. Čech stützte sich auf Vorarbeiten von Andrei Nikolajewitsch Tichonow, der 1930 gezeigt hatte, dass jeder vollständig reguläre Raum in ein Produkt von abgeschlossenen Intervallen eingebettet werden kann. Die heute so genannte Stone–Čech-Kompaktifizierung ist dann der Abschluss der Einbettung. Stone betrachtete hingegen den Ring der stetigen, reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum . Bei seiner Konstruktion ist die heutige Stone–Čech-Kompaktifizierung die Menge der Ultrafilter eines Verbands mit einer bestimmten Topologie.[1]

Universelle Eigenschaft und Funktorialität

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  ist ein kompakter Hausdorff-Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung   mit folgender universellen Eigenschaft: Für jeden kompakten Hausdorff-Raum   und jede stetige Abbildung   gibt es eine eindeutig bestimmte, stetige Abbildung  , sodass  .

Die Abbildung   kann intuitiv als „Einbettung“ von   in   aufgefasst werden.   ist genau dann injektiv, wenn   ein vollständiger Hausdorff-Raum ist, und genau dann eine topologische Einbettung, wenn   vollständig regulär ist. Die Abbildung   kann in dieser Sprechweise als Fortsetzung von   auf ganz   aufgefasst werden.

Da   selbst ein kompakter Hausdorff-Raum ist, folgt aus der universellen Eigenschaft, dass   und   bis auf einen natürlichen Homöomorphismus eindeutig bestimmt sind.

  •   ist genau dann injektiv, wenn   ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.
  •   ist genau dann eine topologische Einbettung, wenn   ein Tychonoff-Raum ist.[2]
  •   ist genau dann eine offene Einbettung, wenn   ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.
  •   ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn   ein kompakter Hausdorff-Raum ist.

Manche Autoren nehmen an, dass der Ausgangsraum ein Tychonoff-Raum (oder auch ein lokalkompakter Hausdorff-Raum) sein soll. Die Stone–Čech-Kompaktifizierung kann für allgemeinere Räume konstruiert werden, jedoch ist die Abbildung   keine Einbettung mehr, wenn   kein Tychonoff-Raum ist, denn die Tychonoff-Räume sind gerade die Teilräume der kompakten Hausdorff-Räume.

Die Erweiterungseigenschaft macht aus   einen Funktor von Top (die Kategorie der topologischen Räume) oder auch Tych (die Kategorie der Tychonoff-Räume) in CHaus (die Kategorie der kompakten Hausdorffräume). Wenn wir   den Inklusionsfunktor von CHaus nach Top bzw. Tych setzen, erhalten wir, dass die stetigen Abbildungen von   (  aus CHaus) in natürlicher Bijektion sind zu den stetigen Abbildungen   (wenn man die Einschränkung auf   betrachtet und die Universelle Eigenschaft von   benutzt). Das heißt  , was bedeutet, dass   linksadjungiert zu   ist.

Konstruktionen

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Konstruktion mittels Produkten

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Eine Möglichkeit, die Stone-Čech-Kompaktifizierung von   zu erzeugen, ist, den Abschluss des Bildes von   in

 

zu nehmen. Hierbei sei das Produkt über alle Abbildungen von   in kompakte Hausdorff-Räume  . Dies ist allerdings formal nicht durchführbar, da die Zusammenfassung aller solcher Abbildungen eine echte Klasse und keine Menge ist, dieses Produkt also gar nicht existiert. Es gibt verschiedene Wege, diese Idee so zu verändern, dass es funktioniert. Eine Möglichkeit ist, nur solche   in das Produkt einzubeziehen, die auf einer Teilmenge von   definiert sind. Die Kardinalität von   ist größer gleich der Kardinalität jedes kompakten Hausdorff-Raumes, in welchen man   mit dichtem Bild abbilden kann.

Konstruktion mit dem Einheitsintervall

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Eine Möglichkeit,   zu konstruieren, besteht darin, die Abbildung

 

zu benutzen, wobei   die Menge aller stetigen Abbildungen   ist. Nach dem Satz von Tychonoff folgt nun, dass   kompakt ist, da   kompakt ist. Der Abschluss   in   ist also ein kompakter Hausdorff-Raum. Wir zeigen, dass dieser zusammen mit der Abbildung

 

die universelle Eigenschaft der Stone-Čech-Kompaktifizierung erfüllt.

Wir betrachten zunächst  . In diesem Fall ist die gewünschte Fortsetzung von   die Projektion auf die  -Koordinate in  .

Ist   ein beliebiger kompakter Hausdorff-Raum, so ist er nach der obigen Konstruktion homöomorph zu  . Die Injektivität der Einbettung folgt dabei aus dem Lemma von Urysohn, die Surjektivität und die Kontinuität der Inversen aus der Kompaktheit von  . Es genügt nun,   komponentenweise fortzusetzen.

Die in diesem Beweis benötigte universelle Eigenschaft des Einheitsintervalls ist, dass es ein Kogenerator der Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume ist. Das bedeutet, dass es für zwei beliebige unterschiedliche Morphismen   einen Morphismus   gibt, sodass   und   unterschiedlich sind. Statt   hätte man also jeden beliebigen Kogenerator oder jede kogeneriende Menge verwenden können.

Konstruktion mittels Ultrafiltern

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Diskrete Räume

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Ist   diskret, dann kann man   als die Menge aller Ultrafilter auf   mit der Stone-Topologie konstruieren. Die Einbettung von   erfolgt dann, indem man die Elemente aus   mit den Einpunktfiltern identifiziert. Diese Konstruktion stimmt für diskrete Räume mit der Wallman-Kompaktifizierung überein.

Wieder muss man die universelle Eigenschaft überprüfen: Sei   ein Ultrafilter auf  . Dann gibt es zu jeder Abbildung  , mit   kompakter Hausdorff-Raum, einen Ultrafilter   auf  . Dieser Ultrafilter hat einen eindeutigen Grenzwert  , weil   kompakt und hausdorff ist. Nun definiert man   und man kann zeigen, dass dies eine stetige Fortsetzung von   ist.

Äquivalent dazu kann man den Stone-Raum der vollständigen Booleschen Algebra aller Teilmengen von   als die Stone-Čech-Kompaktifizierung nehmen. Dies ist wirklich dieselbe Konstruktion, da der Stone-Raum dieser Booleschen Algebra die Menge der Ultrafilter oder äquivalent der Primideale (oder Homomorphismen in die zweielementige Boolesche Algebra) der Booleschen Algebra ist, was dasselbe ist wie die Menge der Ultrafilter auf  .

Allgemeine Tychonoff-Räume

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Ist   ein beliebiger Tychonoff-Raum, so nimmt man statt aller Teilmengen nur die  -Mengen von  , um den Zusammenhang mit der Topologie zu erhalten:[3]

Ist   eine stetige Funktion, dann heißt   die z-Menge von  . Mit   wird die Menge aller  -Mengen von   bezeichnet, d. h.  .

Die  -Mengen sind durch die Teilmengenrelation geordnet und man kann wie üblich Filter definieren. Ein  -Ultrafilter ist ein maximaler Filter.

Bezeichnet man mit   die Menge aller Ultra-Filter auf   mit der Topologie, die durch die  -Mengen von   erzeugt wird, dann gilt: Da für jeden Punkt von   wegen der Tychonoff-Eigenschaft   eine  -Menge ist, ist   ein  -Ultrafilter. Daher ist die Abbildung   mit   eine Einbettung. Man zeigt dann noch, dass der konstruierte Raum ein kompakter Hausdorffraum ist und dass das Bild von   dicht darin ist. Dass   gilt, folgt schließlich aus der Tatsache, dass jede beschränkte Funktion sich fortsetzen lässt.

Konstruktion mittels C*-Algebren

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Wenn   ein vollständig regulärer Raum ist, kann man die Stone-Čech-Kompaktifizierung mit dem Spektrum von   identifizieren. Hier steht   für die unitale kommutative C*-Algebra aller stetigen und beschränkten Abbildungen   mit der Supremumsnorm. Das Spektrum   ist die Menge der multiplikativen Funktionale mit der Teilraumtopologie der schwach-*-Topologie des Dualraums von  , beachte  . Für jedes   ist   ein multiplikatives Funktional. Identifiziert man   mit  , so erhält man  , und man kann zeigen, dass   homöomorph zur Stone–Čech Kompaktifizierung   ist.[4]

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2001, S. 334.
  2. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie Générale. Ch. 1/4. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33936-6, Kap. 9, S. 10.
  3. siehe Leonard Gillman, Meyer Jerison: Rings of Continuous Functions. van Nostrand Reinhold, New York NY u. a. 1960, § 8, für die gesamte Konstruktion.
  4. John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-0-387-97245-9, S. 137f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).