Strom (Mathematik)

Linearform über den Raum der Differentialformen

In der geometrischen Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verallgemeinern Ströme (engl.: currents) den Begriff von Distributionen und implizit (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Georges deRham eingeführt.[1]

Ströme und normale Ströme

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Definition

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Ein  -dimensionaler Strom oder  -Strom in   ist ein stetiges, lineares Funktional auf  . Die Menge der  -dimensionalen Ströme auf   wird mit   bezeichnet.

Mit   wird die Menge der m-linearen alternierenden Formen bezeichnet, so dass   der Raum der  -Formen auf   mit kompaktem Träger ist. Ein Strom ist ein Element des topologischen Dualraums  .

Eigenschaften

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Eine Folge   in   konvergiert schwach gegen einen Strom  , wenn   für alle  ; wir scheiben  . Der Träger   eines Stromes   ist die kleinste abgeschlossene Menge   mit der Eigenschaft, dass   für alle   mit  .

Rand eines Stromes

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Sei  . Der Rand von   ist der Strom  , welcher durch   für alle   definiert ist. Ein Strom heißt geschlossen, wenn sein Rand verschwindet.

Es gilt  , weil  ,  , und   impliziert  .

Seien,  . Für   offen und   beliebig. Man setze

  und  .

Das definiert ein reguläres äußeres Borel-Maß   auf  . Wir definieren die Masse von   durch  . Den Vektorraum aller   mit   bezeichnen wir mit  . Ein Strom   hat lokal endliche Masse, falls   ein Radon-Maß ist, also falls   endlich auf kompakten Mengen ist, und   bezeichnet den Vektorraum aller dieser Ströme.

Normale Ströme

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Die Theorie der normalen Ströme wurde von H. Federer und W. Flemming eingeführt.[2]

Sei  . Man setze  . Wir nennen   normal, falls   und lokal-normal, falls   ein Radon-Maß ist. Wir bezeichnen den Vektorraum aller normalen Ströme mit   und den Vektorraum aller lokal-normalen Ströme mit  .

Wichtige Sätze für n-Ströme in ℝn

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Konstanzsatz

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Sei   offen und zusammenhängend,   und  . Dann existiert eine Konstante  , sodass  .

Hier ist  , also   für  .

Charakterisierung von Nm,loc(T)

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Sei  . Dann ist   dann und nur dann, wenn   für ein  , in welchem Fall   ist. Hier bezeichnet   die Funktionen lokal beschränkter Variation.

Integralströme

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Ganzzahlig rektifizierbare Ströme

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Sei   das Hausdorff-Maß auf dem  . Ein Strom   heißt lokal ganzzahlig rektifizierbarer Strom, falls man diesen in folgender Form darstellen kann:

  wobei

  1.   abzählbar  -rektifizierbar und eine  -messbare Menge ist,
  2.   eine lokale  -integrierbare natürliche Funktion auf   ist,
  3.   eine  -messbare  -wertige Funktion auf  , sodass für  -fast überall  ,   ist einfach,  , und   bezeichnet den approximierten Tangentialraum  .

Die Menge der lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strömen in  wird mit   bezeichnet. Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom in   ist eine Element von  .

Integralstrom

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Der Raum der lokal integrierbaren Ströme in   ist definiert durch   für   und  . Ein Integralstrom in   ist ein Element von  . Weiter bezeichnen wir  .

Minimierung von Strömen

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Ein Strom   heißt minimierbar wenn   für jede kompakte Menge   und jedes   mit kompaktem Träger und Rand  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. G. de Rham: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hrsg.: Actualités scientifiques et industrielles, Vol. 1222, Hermann, Paris 1955.
  2. Herbert Federer, Wendell H. Fleming: Normal and Integral Currents. In: The Annals of Mathematics. Band 72, Nr. 3, November 1960, ISSN 0003-486X, S. 458, doi:10.2307/1970227.