Summenregel

Regel der Differentialrechnung

Die Summenregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass die Summe aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar ist und dass eine solche Summe aus Funktionen gliedweise differenziert werden kann.

Die Funktionen   und   seien in einem gemeinsamen Intervall definiert, das die Stelle   enthält. An dieser Stelle   seien beide Funktionen differenzierbar. Dann ist auch die Funktion   mit

 

an der Stelle   differenzierbar, und es gilt

 .

Beispiel

Bearbeiten

Die Funktionen

 ,
 

sind auf   differenzierbar mit den Ableitungsfunktionen

 ,
 .

Daher ist auch die Funktion

 

auf   differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

 .

Sei   ein Intervall und seien   in   differenzierbar.

Per Voraussetzung existieren die Funktionengrenzwerte   und  . Nach den Grenzwertsätzen existiert auch der Grenzwert der Summenfunktion   an der Stelle   und es gilt

 


Damit folgt

 

Also ist  .

Folgerungen

Bearbeiten
  • Differenzregel: Betrachtet man die Differenz   für Funktionen   und  , die in   differenzierbar sind, ergibt sich aus der Summenregel und der Faktorregel, dass   in   differenzierbar ist und für die Ableitung   gilt.
  • Zusammen mit der Faktorregel ergibt sich: Sind   in   differenzierbare Funktionen und   reelle Konstanten, dann ist die Linearkombination   wiederum in   differenzierbar mit (gliedweise differenzierter) Ableitungsfunktion
     .
  • Daraus folgt: Die differenzierbaren Funktionen (auf einem gegebenen Intervall) bilden einen reellen Vektorraum, und die Differentiation ist eine lineare Abbildung von diesem Vektorraum in den Vektorraum aller Funktionen.

Literatur

Bearbeiten
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9.
Bearbeiten