Sylvestermatrix

mit Koeffizienten zweier Polynome besetzte Matrix

In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Definition

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Sei   ein kommutativer Ring. Für zwei Polynome   und   aus dem Polynomring   mit

  und  

vom Grad   heißt die quadratische  -Matrix

 

die Sylvestermatrix zu   und  . In der Darstellung sind nicht spezifizierte Koeffizienten als Null zu verstehen.

Eigenschaften

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Für   sei   die Matrix, die aus der Sylvestermatrix durch Streichung der letzten   Zeilen von  -Koeffizienten, der letzten   Zeilen von  -Koeffizienten sowie der letzten   Spalten mit Ausnahme der  -ten hervorgeht. Das Polynom

 

ist dann die  -te Subresultante von   und  ; ihr Leitkoeffizient

 

ist der  -te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der  -te Hauptsubresultantenkoeffizient

 

schließlich ist die Resultante von   und  .

Bedeutung

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Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von   für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste   mit  .