Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren die Identität

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Definition

Bearbeiten

Sei

  •   ein Banach-Raum,
  •   eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt   sowie   für   (Orthogonalität) und  .

  ist vom Typ   mit  , falls eine endliche Konstante   existiert, so dass

 

für alle endlichen Folgen  . Die beste Konstante   nennen wir Type- -Konstante und notieren sie mit  .

  ist vom Kotyp   mit  , falls eine endliche Konstante   existiert, so dass

 

respektive

 

für alle endlichen Folgen  . Die beste Konstante   nennen wir Kotyp- -Konstante und notieren sie mit  .[1]

Erläuterungen

Bearbeiten

Durch ziehen der  -ten resp.  -ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)- -Norm.

Eigenschaften

Bearbeiten
  • Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
  • Jeder Banach-Raum ist von Typ   (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

  • ist von Typ   und Kotyp   genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
  • der vom Typ   ist, ist auch vom Typ  .
  • der vom Kotyp   ist, ist auch vom Kotyp  .
  • der vom Typ   (mit  ) ist, besitzt einen Dualraum   vom Kotyp  , wobei  der konjugierte Index   ist. Weiter gilt  [2]

In Banach-Räumen vom Typ   gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.[3]

Beispiele

Bearbeiten
  • Die  -Räume für   sind vom Typ   und vom Kotyp  , das heißt   ist vom Typ  ,   ist vom Typ   usw.
  • Die  -Räume für   sind vom Typ   und vom Kotyp  .
  •   ist vom Typ   und vom Kotyp  .[4]

Literatur

Bearbeiten
  • Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984.
  • Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3.
  • M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  2. Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
  3. Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier: The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem in Banach Spaces. In: Ann. Probab. Band 4, Nr. 4, 1976, S. 587 - 599, doi:10.1214/aop/1176996029.
  4. M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.