Die Umlaufzahl (auch Windungszahl oder Index genannt) ist eine topologische Invariante, die eine entscheidende Rolle in der Funktionentheorie spielt.

Vorbetrachtung

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Die Umlaufzahl einer Kurve   in Bezug auf einen Punkt   stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um   dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt die negative Windungszahl −1.

Windungszahl
1 −1 0 1 2
         

Definition

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Ist   eine geschlossene Kurve in   und ist ferner   ein Punkt in   der nicht auf   liegt, dann ist die Umlaufzahl von   in Bezug auf   so definiert:

 

Die Umlaufzahl   (nach dem englischen index) wird in der Literatur oft auch mit   oder   bezeichnet. Die Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve ist unabhängig vom Bezugspunkt immer eine ganze Zahl.

Berechnung

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Windungs­zahl = 2
 
Windungs­zahl = 0

Intuitiv lässt sich die Windungszahl mittels

  (Anzahl der Umläufe von   um   entgegen dem Uhrzeigersinn) − (Anzahl der Umläufe von   um   im Uhrzeigersinn)

berechnen. Die Berechnung über die Definition ist oft nicht ohne Weiteres möglich. Als Beispiel wählen wir den Einheitskreis

 

als Kurve. Nach der intuitiven Regel ist   für alle Punkte   in seinem Inneren   und   für alle Punkte   außerhalb der abgeschlossenen Kreisscheibe  . Letzteres folgt sofort aus dem Integralsatz von Cauchy und der Definition. Sei nun

 

Es gilt

 

Durch Vertauschen von Differentiation und Integration ergibt sich

 ,

und weil   eine Stammfunktion des Integranden ist, ist   Weil   zusammenhängend ist, ist also   für alle  

Anwendung in der Funktionentheorie

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Die Umlaufzahl wird vor allem bei der Berechnung von Kurvenintegralen in der komplexen Zahlenebene verwendet. Sei

 

eine meromorphe Funktion mit Singularitäten   dann kann man nach dem Residuensatz das Integral von   über eine (durch keine der Singularitäten verlaufende) Kurve   durch

 

berechnen.

Algorithmus

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Windungszahl der Flächen eines nichttrivialen Polygons: Die Windungszahl für die Fläche, in der sich der Punkt befindet, ist −1, d. h., dieser liegt innerhalb des Polygons (der grauen Fläche). Jede Fläche hat eine feste Windungszahl.

In der algorithmischen Geometrie wird die Umlaufzahl verwendet, um zu bestimmen, ob ein Punkt außerhalb oder innerhalb eines nichteinfachen Polygons (eines Polygons, dessen Kanten sich überschneiden) liegt. Für einfache Polygone vereinfacht sich der Algorithmus zur Even-Odd-Regel.

Für Polygone (geschlossene Kantenzüge) verwendet man zur Berechnung der Umlaufzahl folgenden Algorithmus:

  1. Suche eine Halbgerade (beginnend beim zu untersuchenden Punkt nach außen), die keine Eckpunkte des Polygons enthält.
  2. Setze  
  3. Für alle Schnittpunkte der Halbgerade mit dem Polygonzug:
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von rechts nach links“ orientiert ist (wenn der Punkt auf der linken Seite der Kante liegt), erhöhe   um 1.
    • Schneidet die Halbgerade eine Polygonkante, die „von links nach rechts“ orientiert ist (wenn der Punkt auf der rechten Seite der Kante liegt), verkleinere   um 1.
  4.   ist nun die Umlaufzahl des Punktes.

Ist die Umlaufzahl 0, so liegt der Punkt außerhalb des Polygons, sonst innerhalb.

In nebenstehendem Beispiel ist die Halbgerade, mit der gestartet wird, der senkrechte Pfeil. Er schneidet drei Kanten des Polygons. Bezüglich der roten Kante liegt der Punkt rechts   Bezüglich der nächsten Kante liegt der Punkt auch rechts   und bzgl. der letzten Kante liegt der Punkt links   Der Punkt liegt innerhalb des Polygons. Die Polygonfläche ist grau hinterlegt.

Ein analoger Algorithmus ergibt auch für nicht geradlinig verlaufende (geschlossene) Kurven die Umlaufzahl um einen Punkt, allerdings ist da das Überprüfen der Schnittpunkte nicht so einfach zu implementieren.

Verallgemeinerung für n-dimensionale Mannigfaltigkeiten

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Eine Verallgemeinerung für  -dimensionale Mannigfaltigkeiten stammt von Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow: Unter Benutzung des allgemeinen Stokes’schen Satzes für   kann man

 

schreiben.   ist die Einheitskugel im     ist die betrachtete  -dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit, auf der integriert werden soll.

Siehe auch

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Literatur

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  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4.