Ursprungsebene

mathematischer Begriff

Eine Ursprungsebene ist in der Mathematik eine Ebene, die den Koordinatenursprung enthält. Wichtige Ursprungsebenen sind die drei Koordinatenebenen in einem kartesischen Koordinatensystem. Ursprungsebenen weisen besonders kompakte Darstellungen als Ebenengleichung auf und zeichnen sich durch vergleichsweise einfache Formeln zur Schnitt- und Abstandsberechnung aus. Die Menge der Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet einen zweidimensionalen Untervektorraum des dreidimensionalen euklidischen Raums.

Drei Ursprungsebenen (grün, gelb und grau) und eine Ursprungsgerade (blau)

Definition

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In der analytischen Geometrie wird eine Ebene als Teilmenge der Punkte des dreidimensionalen Raums aufgefasst, wobei jeder Punkt durch seine Koordinaten   dargestellt wird. Eine Ursprungsebene ist nun dadurch ausgezeichnet, dass sie durch den Koordinatenursprung   des gewählten kartesischen Koordinatensystems verläuft. In Koordinatenform wird eine Ursprungsebene dann durch die Ebenengleichung

 

beschrieben, wobei   und   reelle Parameter sind, die nicht alle gleich null sein dürfen.

Vektordarstellung

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Ursprungsebenen können auch durch Vektorgleichungen dargestellt werden, wobei jeder Punkt der Ebene durch seinen Ortsvektor   dargestellt wird. In Parameterform wird eine Ursprungsebene dann durch die Gleichung

    mit    

beschrieben, wobei   und   zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene sind. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren als Linearkombination zweier gegebener Vektoren geschrieben werden können. In Normalenform wird eine Ursprungsebene durch die Normalengleichung

 

charakterisiert, wobei   ein Normalenvektor der Ebene ist und   das Skalarprodukt der beiden Vektoren   und   darstellt. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren senkrecht auf einem gegebenen Vektor stehen.[1] Ist eine Ursprungsebene in Parameterform gegeben, so kann ein Normalenvektor der Ebene durch das Kreuzprodukt   berechnet werden.

Beispiele

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Die drei Koordinatenebenen

Wichtige Beispiele für Ursprungsebenen sind die drei Koordinatenebenen

    bzw.        bzw.     
    bzw.        bzw.     
    bzw.        bzw.     

Hierbei sind  ,   und   die drei Einheitsvektoren.

Eigenschaften

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Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt immer eine Ursprungsgerade, das heißt eine Gerade mit der Geradengleichung

    mit    ,

wobei   ein Richtungsvektor der Gerade ist. Besitzen die beiden Ursprungsebenen die Normalenvektoren   und  , dann ergibt sich ein Richtungsvektor der Schnittgerade als das Kreuzprodukt

 

der beiden Normalenvektoren. Der Schnitt dreier Ursprungsebenen ergibt genau dann den Koordinatenursprung, wenn ihre Normalenvektoren linear unabhängig sind. Dabei sind drei Vektoren im Raum genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in der gleichen Ursprungsebene liegen.[2]

Abstand eines Punkts

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Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor   von einer Ursprungsebene   mit Normalenvektor   beträgt

 ,

wobei   die Länge (euklidische Norm) von   ist. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der Lotstrecke zwischen dem Punkt und der Ebene. Der Ortsvektor des Lotfußpunkts   ist dann die Orthogonalprojektion von   auf die Ursprungsebene und somit durch

 

gegeben.

Spiegelung eines Punkts

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Man erhält die Spiegelung eines Punkts mit Ortsvektor   an einer Ursprungsebene, indem man den Lotvektor   von dem Punkt auf die Ebene verdoppelt. Der bezüglich einer Ursprungsebene gespiegelte Vektor   eines Vektors   ist damit durch

 

gegeben, wobei   wieder ein Normalenvektor der Ebene ist.

Vektorraumstruktur

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Die Menge der Vektoren des dreidimensionalen Raums bildet einen Vektorraum, den euklidischen Raum. Die Menge der Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet dabei einen Untervektorraum des euklidischen Raums

 .

Dieser Untervektorraum ist gerade die lineare Hülle der beiden die Ursprungsebene aufspannenden Vektoren   und  , beziehungsweise der Orthogonalraum der linearen Hülle eines Normalenvektors   der Ebene. Die Ursprungsebenen sind dabei die einzigen zweidimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.[3]

Zu jeder Ebene  , die nicht den Ursprung enthält, existiert genau eine parallele Ursprungsebene  . Jede Ebene   kann damit als affiner Unterraum des euklidischen Raums der Form

 

dargestellt werden, wobei   der Ortsvektor eines Punkts von   ist.

Verallgemeinerungen

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Allgemeiner können Ebenen auch in höherdimensionalen Räumen betrachtet werden. Eine Ursprungsebene ist dann ein zweidimensionaler Untervektorraum des  . In Parameterform ist eine solche Ursprungsebene wie in drei Dimensionen durch

    mit    

gegeben, wobei   zwei linear unabhängige Vektoren sind. Die entsprechende Normalenform

 

mit   definiert allerdings für   keine Ebene mehr, sondern eine Hyperebene der Dimension  , die den Ursprung enthält.

Siehe auch

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Literatur

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  • Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35006-3.
  • Mike Scherfner, Torsten Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, ISBN 3-8274-2505-0.

Einzelnachweise

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  1. Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 351.
  2. Scherfner, Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, S. 247.
  3. Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 357.