Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]

Wölbung

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Empirische Wölbung

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Zur Berechnung der Wölbung einer empirischen Häufigkeitsverteilung   wird die folgende Formel benutzt:

 

Damit die Wölbung unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Beobachtungswerte   mit Hilfe des arithmetischen Mittels   und der Standardabweichung  

 

standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

 

Die Wölbung kann nur nicht-negative Werte annehmen. Ein Wert   deutet darauf, dass die standardisierten Beobachtungen   nahe dem Mittelwert konzentriert sind, d. h. die Verteilung ist flachgipflig (siehe Bild), für   ist die Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung spitzgipflig.

Wölbung einer Zufallsvariable

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Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen   definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung   normiertes viertes zentrales Moment  .

 

mit dem Erwartungswert  .

Als Darstellung mittels der Kumulanten   ergibt sich

 

Schätzung der Wölbung einer Grundgesamtheit

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Zur Schätzung der unbekannten Wölbung   einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten   (  ist der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden. Um Erwartungswerttreue zu erreichen, sind zusätzliche Korrekturterme nötig, da durch die Schätzung von Erwartungswert und Varianz aus der Stichprobe Freiheitsgrade verloren gehen:

 

mit dem Stichprobenmittel   und der Stichprobenstandardabweichung  .

 
 

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die   gilt. Der Exzess (auch: Überschusswölbung oder Überkurtosis) ist daher definiert als

 

Mittels der Kumulanten ergibt sich

 

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

Schätzung des Exzesses einer Grundgesamtheit

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Zur Schätzung des unbekannten Exzesses   einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten sind zusätzliche Korrekturterme nötig, da durch die Schätzung von Erwartungswert und Varianz aus der Stichprobe Freiheitsgrade verloren gehen:

 

mit der geschätzten Wölbung   der Grundgesamtheit und dem Stichprobenumfang  .

Arten von Exzess

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Verteilungen werden entsprechend ihrem Exzess eingeteilt in:

  •  : normalgipflig oder mesokurtisch. Die Normalverteilung hat die Kurtosis   und entsprechend den Exzess  .
  •  : steilgipflig, supergaußförmig oder leptokurtisch. Es handelt sich hierbei um im Vergleich zur Normalverteilung spitzere Verteilungen, d. h. Verteilungen mit starken Peaks.
  •  : flachgipflig, subgaußförmig oder platykurtisch. Man spricht von einer im Vergleich zur Normalverteilung abgeflachten Verteilung.

Wölbung, Exzess und schwere Verteilungsenden

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Häufig, aber nicht notwendig, haben Verteilungen mit Überschusswölbung, d. h. mit positivem Exzess, auch schwere Verteilungsenden. Der Exzess ist aber grundsätzlich auch geeignet, Verteilungen zu vergleichen, die keine schweren Verteilungsenden haben. So können Verteilungen mit beschränktem Träger, z. B. Verteilungen, welche die gesamte Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem Intervall   konzentrieren, bezüglich ihrer Wölbung verglichen werden. Beispielsweise hat eine Gleichverteilung auf dem Intervall   eine geringere Wölbung als eine Dreiecksdichte auf dem Intervall   mit einem Gipfel an der Stelle Null. Bei einer Dichtefunktion auf dem Intervall  , welche die Wahrscheinlichkeitsmasse stark um Null konzentriert, z. B. als Polstelle der Dichtefunktion, kann der Exzess beliebig große Werte annehmen, ohne dass es zu schweren Verteilungsenden kommt.

In bestimmten Anwendungsbereichen, in denen überwiegend stetige Verteilungen mit positiver Dichte auf dem gesamten Intervall   verwendet werden, werden Wölbungsmaße – leicht missbräuchlich – auch zur Charakterisierung der Verteilungsenden verwendet und die Konzepte der Leptokurtosis (Überschusswölbung) und der schweren Verteilungsenden werden kaum unterschieden und teilweise verwechselt. Dies ist deswegen in diesem Kontext möglich, da beim Vergleich von zwei Dichtefunktion mit gleichen Erwartungswerten und gleichen Varianzen und positiver Dichte auf dem gesamten Intervall   eine höhere Konzentration der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert zwangsläufig mit einer Erhöhung der Wahrscheinlichkeitsmasse an den Rändern einhergeht.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b Bernd Rönz, Hans G. Strohe: Lexikon Statistik. Gabler Verlag, 1994, ISBN 3-409-19952-7, S. 115.