In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht[1], in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur ) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit[2]. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion

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Konstruiere eine Folge   von in der 3-Sphäre   eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt:   ist ein unverknoteter Volltorus in  .

2. Schritt:   ist in   so eingebettet, dass der Kern von   mit dem Meridian von   eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt:   ist in   so eingebettet, dass der Kern von   mit dem Meridian von   eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge   in  , oder äquivalent die Vereinigungsmenge   mit  .

Topologische Eigenschaften

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Die Whitehead-Mannigfaltigkeit   ist kontrahierbar und  ,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von  , wenn alle Punkte aus   miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des  , deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum   ist.[3]

Differentialgeometrie

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Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.[4]

Einzelnachweise

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  1. J. H. C. Whitehead: Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly Journal of Mathematics 5, 308–320 (1934)
  2. J. H. C. Whitehead: A certain open manifold whose group is unity, Quarterly Journal of Mathematics 6, 268–279 (1935)
  3. David Gabai: The Whitehead manifold is a union of two Euclidean spaces, Journal of Topology 4, 529–534 (2011)
  4. J. Wang: Contractible 3-manifold and Positive scalar curvature, ArXiv