Eine Zissoide[1] oder Efeu-Kurve ist eine ebene Kurve, die mit Hilfe zweier anderer Kurven und eines Punktes definiert wird. Die Definition lässt viele unterschiedliche Kurvenformen zu, so dass sich viele andere ebene Kurven als Zissoiden auffassen lassen. Eines der ältesten Beispiele für eine Zissoide ist die bereits seit der Antike bekannte Zissoide des Diokles.

Zissoide (rot) der Kurven (grün) und (blau) bezüglich des Pols

Definition

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Gegeben sind zwei Kurven   und   sowie ein als Pol bezeichneter Punkt  . Zu einem Punkt   auf   schneidet die Gerade   die Kurve   in  . Nun addiert man den Vektor   zum Pol   und erhält so den Punkt  . Die Zissoide der Kurven   und   bezüglich des Pols   ist nun definiert als geometrische Ort aller Punkte A, die man erhält, wenn sich der Punkt   entlang der Kurve   bewegt.[2]

Das Vertauschen der Kurven   und   in der obigen Definition führt zu einer Punktspiegelung der ursprünglichen Zissoide an ihrem Pol  .[2]

Werden die Kurven   und   durch die Polargleichungen   und   (mit Pol   im Ursprung) beschrieben, so ergibt sich   als Polargleichung für die zugehörige Zissoide. Dabei ist zu beachten, dass die Variable   der Zissoide im Gegensatz zu dem der beiden Kurven vorzeichenbehaftet beziehungsweise orientiert ist.[2]

Kreis-Gerade-Zissoiden

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Zissoide des Diokles (rot) mit Kreis   (grün) und Gerade   (blau) sowie Pol  

Zissoiden, bei denen man für die Kurve   einen Kreis und für Kurve   eine Gerade wählt, werden als Kreis-Gerade-Zissoiden bezeichnet. Die Zissoide des Diokles ist eine spezielle Kreise-Gerade-Zissoide, bei der der Pol   auf dem Kreis liegt und die Gerade die Tangente an den Kreis ist, deren Berührungspunkt   dem Pol gegenüber liegt. Das heißt, die Strecke   ist ein Durchmesser des Kreises und steht senkrecht auf der Geraden.[2]

Literatur

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Commons: Cissoid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Andere verbreitete Schreibweisen sind Cissoide oder Kissiode. Alle drei Varianten leiten sich von dem griechischen Wort (griechisch κισσοειδής kissoeidēs) für "efeuförmig" ab.
  2. a b c d Dörte Haftendorn: Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Springer, 2016, ISBN 9783658147495, S. 64–75, 258-61