Zusammenhang (Prinzipalbündel)

Abbildung für Prinzipalbündel

Der Zusammenhang ist in der Differentialgeometrie ein Konzept, mit dem der Paralleltransport zwischen den Fasern eines Prinzipalbündels erklärt werden kann. In der Physik werden solche Zusammenhänge zur Beschreibung von Feldern bei den Yang-Mills-Theorien verwendet.

Definition

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Sei   ein Prinzipalbündel mit der Strukturgruppe  . Die Gruppe wirke durch

 .

Ferner bezeichne   die Lie-Algebra der Lie-Gruppe  .

Ein Zusammenhang ist dann eine  -wertige 1-Form  , die  -äquivariant ist und deren Einschränkung auf die Fasern mit der Maurer-Cartan-Form übereinstimmt. Es sollen also die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein:

  für alle  

und

  für alle  .

Hierbei ist   definiert durch  .   bezeichnet das Differential von  .   ist die adjungierte Wirkung und   ist das sogenannte fundamentale Vektorfeld. Es wird durch

  für  

auf   definiert.

Krümmung

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Die Krümmung einer Zusammenhangsform ist definiert durch

 

Hierbei ist der Kommutator Lie-Algebra-wertiger Differentialformen durch

 

und die äußere Ableitung   durch

 

definiert.

Die Krümmungsform ist  -invariant und definiert deshalb eine 2-Form   auf  .

Bianchi-Identität

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Zusammenhangs- und Krümmungsform genügen der Gleichung

 .

Horizontale Unterräume

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Für eine Zusammenhangsform   auf einem  -Prinzipalbündel   sind die horizontalen Unterräume   definiert durch

 .

Die horizontalen Unterräume sind transversal zu den Tangentialräumen der Fasern von  , und sie sind  -invariant, d. h.   für alle  .

Aus den horizontalen Unterräumen kann man die Zusammenhangsform zurückgewinnen (nach Identifikation des Tangentialraums der Faser mit  ) durch Projektion von   entlang   auf den Tangentialraum der Faser.

Paralleltransport

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Zu jedem Weg   und jedem   gibt es einen Weg   mit   und  . (Das folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen.)

Insbesondere hat man zu jedem Weg   eine durch

 

definierte Abbildung

 ,

den sogenannten Paralleltransport entlang des Weges  .

Zu einem Punkt   definiert man die Holonomiegruppe als Untergruppe der Diffeomorphismen der Faser   wie folgt. Zu einem geschlossenen Weg   mit   und einem   gibt es eine eindeutige Hochhebung   mit   und wir definieren  . Die Gruppe der   für alle   ist die Holonomiegruppe.

Riemannscher Zusammenhang

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Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit   ist das Rahmenbündel ein Prinzipalbündel mit der linearen Gruppe  .

Sei   die Matrix, die mit Hilfe einer lokalen Basis durch

 

definiert wird, wobei   der Levi-Civita-Zusammenhang ist, so wird durch

 

die riemannsche Zusammenhangform definiert. Es gilt

 .

Seien   lokale Koordinaten in einer Umgebung von   und   die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die Krümmungsform des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krümmungstensor über die Gleichung   zusammen.

Literatur

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