Zwei-Quadrate-Satz

mathematischer Satz der Zahlentheorie

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat ist ein mathematischer Satz der Zahlentheorie:

Eine ungerade Primzahl kann genau dann in der Form
mit ganzzahligen und dargestellt werden, wenn

Primzahlen, die letztere Bedingung erfüllen, nennt man auch pythagoreische Primzahlen.

Beispielsweise sind die Primzahlen 5, 13, 17, 29, 37, 41 kongruent zu 1 modulo 4 und können als Summe zweier Quadrate geschrieben werden:

Andererseits sind die Primzahlen 3, 7, 11, 19, 23 und 31 kongruent zu 3 modulo 4 und können nicht als Summe zweier Quadrate geschrieben werden.

Als Arbeitsdefinition wird im Folgenden darstellbare Zahl kurz für „Zahl, die eine Darstellung als Summe zweier Quadratzahlen besitzt“ gebraucht. Dies entspricht auch dem Sprachgebrauch des im Buch der Beweise vorgestellten Beweises, den wir im Folgenden skizzieren wollen:[1]

Der einfachere Teil des Satzes (dass jede darstellbare ungerade Primzahl pythagoreisch ist) folgt ganz leicht aus der Tatsache, dass ein Quadrat modulo 4 nur zu 0 oder zu 1 kongruent sein kann. Daher ging es immer nur darum, zu zeigen, dass auch umgekehrt jede pythagoreische Zahl darstellbar ist.

Historische Bemerkungen

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Als Erster hat Albert Girard diese Beobachtung gemacht, er hat sogar alle (nicht nur die primen) positiven, ganzen Zahlen beschrieben, die als Summe zweier Quadrate ausgedrückt werden können, dies wurde 1625 veröffentlicht.[2][3] Die Aussage, dass jede Primzahl der Form   die Summe zweier Quadrate ist, heißt manchmal Satz von Girard.[4] Diesen Teil der Aussage sowie die Bestimmung der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, eine gegebene Primzahlpotenz als Summe zweier Quadrate zu schreiben, hat Fermat in einem Brief an Marin Mersenne ausgearbeitet, dieser datiert vom 25. Dezember 1640. Daher wird diese Version des Satzes manchmal auch Fermats Weihnachtstheorem genannt.

Beweise des Zwei-Quadrate-Satzes

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Üblicherweise hat Fermat keine Beweise seiner Behauptungen veröffentlicht, auch für den Zwei-Quadrate-Satz hat er keinen Beweis geliefert. Ein erster Beweis wurde mit viel Aufwand mittels der Methode des unendlichen Abstiegs von Euler gefunden. Er hatte ihn zunächst in zwei Briefen vom 6. Mai 1747 und 12. April 1749 an Goldbach angekündigt, der vollständige Beweis wurde dann zwischen 1752 und 1755 in zwei Artikeln veröffentlicht.[5][6] Lagrange erbrachte 1775 einen Beweis mittels seiner Untersuchungen über quadratische Formen. Dieser wurde von Gauß in seinen Disquisitiones Arithmeticae vereinfacht. Dedekind lieferte mindestens zwei Beweise, die auf der Arithmetik gaußscher Zahlen fußen. Weiter gibt es einen eleganten Beweis, der den minkowskischen Gitterpunktsatz verwendet. 2016 veröffentlichte D. Christopher einen kombinatorisch-zahlentheoretischen Beweis.[7]

Eulers Beweis mit der Methode des unendlichen Abstiegs

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Der Beweis von Euler besteht aus fünf Schritten. Die ersten vier Schritte sind die Sätze 1 bis 4 aus dem ersten der oben erwähnten Artikel, der fünfte Schritt stammt aus dem zweiten Artikel.

Im Folgenden kann auch die Null Summand der „Summe zweier Quadrate“ sein. Somit können auch Quadratzahlen als Summen zweier Quadrate aufgefasst werden.

1. Das Produkt zweier Zahlen, die jeweils als Summen zweier Quadrate darstellbar sind, lässt sich selbst als Summe zweier Quadrate schreiben.

Dies ist eine wohlbekannte Eigenschaft, die auf der Identität
 
beruht, die auf Diophant zurückgeht.

2. Wenn die Summe zweier Quadrate durch eine Primzahl teilbar ist, die sich ebenfalls als Summe zweier Quadrate schreiben lässt, dann ist auch der Quotient die Summe zweier Quadrate. (Satz 1 in Eulers erstem Artikel)

Zum Beweis wird angenommen, dass   durch   teilbar ist, wobei der letzte Term eine Primzahl ist. Dann teilt   auch
 
Da   eine Primzahl ist, muss es einen der beiden Faktoren teilen. Zunächst wird angenommen, dass   Teiler von   ist. Wegen Diophants Identität
 
folgt daraus, dass   Teiler von   ist.
Daher kann die Gleichung durch das Quadrat von   dividiert werden, ohne den Bereich der ganzen Zahlen zu verlassen. Es ergibt sich
 
Das bedeutet, dass der Quotient, wie behauptet, die Summe zweier Quadrate ist.
Entsprechendes gilt, wenn   Teiler von   ist. Für die Begründung verwendet man eine Variante von Diophants Identität, nämlich
 

3. Wenn die Summe zweier Quadrate durch eine Zahl teilbar ist, die sich nicht als Summe zweier Quadrate schreiben lässt, dann hat der Quotient einen Teiler, der nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar ist. (Satz 2 aus Eulers zweitem Artikel)

  sei ein Teiler von  , der sich nicht als Summe zweier Quadrate ausdrücken lässt. Der Quotient wird in (möglicherweise mehrfach auftretende) Primfaktoren zerlegt, also in der Form   geschrieben, sodass   gilt. Wenn alle Faktoren   als Summen zweier Quadrate darstellbar sind, dann kann man   der Reihe nach durch  ,   usw. dividieren; aus Schritt (2.) schließt man, dass die kleiner werdenden Quotienten jeweils Summen zweier Quadrate sind. Letztendlich wäre   selbst die Summe zweier Quadrate, was in Widerspruch zur Voraussetzung steht. Folglich ist wenigstens eine der Primzahlen   nicht die Summe zweier Quadrate.

4. Sind   und   teilerfremde natürliche Zahlen, dann ist jeder Faktor von   die Summe zweier Quadrate. (Dieser Schritt verwendet Schritt (3.), um einen ‚unendlichen Abstieg‘ zu erzeugen, und entspricht dem Satz 4 in Eulers erstem Artikel. Der Beweis, der hier skizziert wird, enthält auch den Beweis von Eulers Satz 3.)

Es seien   teilerfremde natürliche Zahlen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei   nicht selbst prim, denn sonst gäbe es nichts zu beweisen. Es sei daher   ein echter Teiler von  , nicht notwendig eine Primzahl: Wir wollen zeigen, dass   die Summe zweier Quadrate ist. Dabei kann   vorausgesetzt werden, da der Fall   offensichtlich ist.
  und   seien die nicht-negativen ganzen Zahlen mit der Eigenschaft, dass   bzw.   (dem Betrag nach) so nahe wie möglich bei   bzw.   liegt. Man beachte, dass die Differenzen   und   ganze Zahlen sind, deren absolute Beträge kleiner als   sind.
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir
 
wobei   eine eindeutig bestimmte nicht-negative ganze Zahl ist. Da   Teiler von   ist, muss auch   durch   teilbar sein:   mit einer ganzen Zahl  . Es sei nun   der größte gemeinsame Teiler von   und  , der wegen der Teilerfremdheit von   und   teilerfremd zu   ist. Folglich ist   Teiler von  . Setzt man  ,   und  , erhält man  .   und   sind teilerfremd und es gilt   wegen
 
Nun erfolgt schließlich der Abstiegsschritt: Wenn   nicht die Summe zweier Quadrate ist, dann muss es gemäß (3.) einen Faktor von  , etwa  , geben, der nicht Summe zweier Quadrate ist. Es gilt jedoch  . Wiederholt man diese Schritte (beginnend mit   anstelle von  ) immer wieder, so findet man eine streng monoton abnehmende unendliche Folge   von natürlichen Zahlen, die jeweils nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar sind. Weil ein solcher unendlicher Abstieg unmöglich ist, muss   die Summe zweier Quadrate sein, wie behauptet.

5. Jede Primzahl der Form   ist die Summe zweier Quadrate. (Hauptresultat von Eulers zweitem Artikel)

Wenn   gilt, dann ist nach dem kleinen fermatschen Satz jede der Zahlen   kongruent zu 1 modulo  . Die Differenzen   sind daher alle durch   teilbar. Jede dieser Differenzen kann faktorisiert werden als
 
Als Primzahl muss   einen der beiden Faktoren teilen. Wenn   in jedem der   Fälle den ersten Faktor teilt, kann man nach dem letzten Schritt schließen, dass   selbst die Summe zweier Quadrate ist;   und   unterscheiden sich nämlich um 1 und sind daher teilerfremd. Es genügt also zu zeigen, dass   nicht immer den zweiten Faktor teilen kann.
Angenommen,   teilt alle   Differenzen  . Dann teilt   auch alle   Differenzen der ursprünglichen Differenzen, alle   Differenzen von deren Differenzen und so weiter. Da die  -ten Differenzen der Folge   alle gleich   sind, wären die  -ten Differenzen alle konstant und gleich  . Andererseits ist   sicher nicht durch   teilbar.   kann also nicht alle zweiten Faktoren teilen. Durch diesen Widerspruch ist bewiesen, dass   tatsächlich die Summe zweier Quadrate ist.

Beweis mit dem Gitterpunktsatz von Minkowski

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Ist   eine Primzahl, die kongruent zu 1 modulo 4 ist, dann ist   nach dem eulerschen Kriterium ein quadratischer Rest modulo  . Daher existiert eine ganze Zahl  , sodass   Teiler von   ist. Es seien nun  ,   die Elemente der Standardbasis des Vektorraums  , außerdem   und  . Man betrachtet das Gitter  . Wenn   Element von   ist, gilt  . Daher ist   für jedes   ein Teiler von  .

Der Flächeninhalt der Grundmasche (Fundamentalmasche) des Gitters ist  . Der Flächeninhalt der offenen Kreisscheibe   mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius   beträgt  . Außerdem ist   konvex und symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Daher existiert nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski ein vom Nullvektor verschiedener Vektor   mit  . Weil   gilt und   Teiler von   ist, muss   gelten. Folglich ist   die Summe zweier Quadrate, nämlich der Quadrate der Koordinaten von  .

Don Zagiers Beweis

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Berühmt geworden ist ein Beweis von Don Zagier, den er selbst als „Einzeiler“ bezeichnete (one-sentence proof). Dies ist eine Vereinfachung eines früheren kurzen Beweises von Heath-Brown, der wiederum von auf Lagrange zurückgehenden Ideen inspiriert war.

Der Beweis lautet folgendermaßen: Für eine Primzahl   hat die auf der endlichen Menge   definierte Involution, gegeben durch

 

einen Fixpunkt. Daher ist die Mächtigkeit   ungerade. Aus dieser Tatsache kann man folgern, dass auch die Involution   auf   einen Fixpunkt besitzt. Weil für diesen Fixpunkt   gelten muss, folgt   d. h.,   lässt sich als Summe zweier Quadratzahlen schreiben.

Zagier gab im selben Artikel, in dem er den Beweis vorstellte, zu, dass dieser one-sentence proof mehrere Annahmen trifft, die man mit mehr als einem Satz erklären müsse – wie, dass die Menge   endlich ist, dass die erste Abbildung eine wohldefinierte Involution mit eindeutig bestimmtem Fixpunkt ist und wie genau daraus der Zwei-Quadrate-Satz folgt.[8]

Verwandte Resultate

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Vierzehn Jahre später hatte Fermat zwei verwandte Resultate angekündigt. In einem Brief vom 25. September 1654 an Blaise Pascal behauptete er über eine ungerade Primzahl  :

  •   ist genau dann von der Form  , wenn  ,
  •   ist genau dann von der Form  , wenn  .

Weiter schrieb er:

Enden zwei Primzahlen auf die Ziffern 3 oder 7 und sind beide um 3 größer als ein Vielfaches von 4, so ist ihr Produkt eine Summe aus einem Quadrat und dem Fünffachen eines Quadrates.

Mit anderen Worten, wenn   und   Primzahlen der Form   oder   sind, dann ist   von der Form  . Euler hat dies später zu der Vermutung ausgeweitet, dass gilt:

  •   ist genau dann von der Form  , wenn  ,
  •   ist genau dann von der Form  , wenn  .

Beide Behauptungen von Fermat sowie die von Euler aufgestellten Vermutungen wurden schließlich von Lagrange bewiesen.

Algorithmische Lösung

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Die gesuchten Zahlen  , mit denen   gilt, lassen sich algorithmisch finden. Ein naheliegender Algorithmus ergibt sich mithilfe des Lemmas von Thue und lautet folgendermaßen: Für ein natürliches   mit   überprüfe man, ob   eine ganze Zahl ist. Falls dies so ist, so hat man das   gefunden und das   ergibt sich von selbst. Jedoch wächst mit größer werdendem   der Rechenaufwand exponentiell, sodass sich dieser Weg nur für kleinere Primzahlen eignet.

Der Mathematiker Stan Wagon gab einen Algorithmus an, der unter Benutzung des euklidischen Algorithmus das Problem in Polynomialzeit löst.[9]

Darstellung natürlicher Zahlen als Summe zweier Quadratzahlen

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Auf den Zwei-Quadrate-Satz aufbauend kann man sich fragen, welche natürlichen Zahlen (nicht nur Primzahlen) als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar sind. Hieraus ergibt sich folgender Satz (siehe Satz über die Summe zweier Quadrate):

Genau dann ist eine natürliche Zahl darstellbar als Summe zweier Quadratzahlen, wenn in der Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor der Form   mit geradem Exponenten auftritt.

Beweisskizze

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Für die eine Richtung benötigt man folgende Tatsachen:

  • Die Zahlen   und   sind darstellbar, denn   und  .
  • Nach dem Zwei-Quadrate-Satz sind ungerade Primzahlen nur darstellbar, wenn sie von der Form   sind.
  • Nach der Brahmagupta–Fibonacci-Identität ist das Produkt zweier darstellbarer Zahlen wieder darstellbar.
  • Wenn   darstellbar ist, so ist auch   für   darstellbar, denn
 

Für die Rückrichtung benötigt man zusätzlich folgende Aussagen:

  • Ist   eine Primzahl, die eine darstellbare Zahl   teilt, so teilt sie auch   und  .
  • Wenn   darstellbar ist und durch eine Primzahl der Form   teilbar ist, so ist   auch durch   teilbar und der Quotient   ist immer noch darstellbar.

Die ganze Aussage ergibt sich dann, indem man die Primfaktorzerlegung betrachtet.

Beispiel

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Die Zahl  , gegeben durch die Primfaktorzerlegung  , ist darstellbar als Summe zweier Quadratzahlen. Nicht nur ist die Existenz bewiesen; aus dem Abschnitt zur algorithmischen Lösung und der Beweisskizze kann man die Darstellung sogar per Hand berechnen.

Dafür findet man zunächst die Darstellungen der darstellbaren Primfaktoren (das wären hier  ,   und  ). Dann ergibt sich unter Anwendung der Brahmagupta–Fibonacci-Identität und der Tatsache   die folgende Darstellung als Summe:

 

Würde man   mit   multiplizieren, dann wäre das Ergebnis nach dem obigen Resultat nicht mehr als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar, da   geteilt durch   den Rest   hinterlässt, aber dann mit ungeradem Exponenten aufträte.

Verhältnis zu den Gaußschen Zahlen

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Es besteht eine sehr starke Beziehung zu den Gaußschen Zahlen  . Denn die Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen sind (abgesehen von den vier Einheiten   als Faktoren) genau die Primzahlen der Form  , die Zahl   und die Zahlen  , für die   eine Primzahl in   ist, die man als   schreiben kann.

Mit etwas Arbeit lässt sich daraus sogar die Leibniz-Reihe herleiten, wie das Edmund Weitz im Laufe seines Buches Pi und Primzahlen vorgestellt hat.[10]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Martin Aigner und Günter Ziegler: Das BUCH der Beweise, 5. Auflage, Springer, 2010, S. 24.
  2. Simon Stevin: L’Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, kommentiert von Albert Girard, Leyden 1625, Seite 622.
  3. L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Band II, Kap. VI, S. 227.
  4. L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Band II, Kap. VI, S. 228.
  5. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, Seiten 3–40).
  6. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, Seiten 3–13).
  7. A. David Christopher: A partition-theoretic proof of Fermat’s Two Squares Theorem, Discrete Mathematics (2016), Band 339, Seiten 1410–1411.
  8. D. Zagier: A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares, American Mathematical Monthly, 1990, Band 97, Seite 144.
  9. Stan Wagon: Editor’s Corner: The Euclidean Algorithm Strikes Again. The American Mathematical Monthly, Band 97, Nr. 2, 1990, S. 125–129.
  10. Edmund Weitz: Pi und Primzahlen. Eine Entdeckungsreise durch die Mathematik. 2021, Springer Berlin, Heidelberg.