Diskussion:Orthodrome

Diskussion:Orthodrome

Die Streckenlänge der Orthodrome zwischen Berlin und Tokio beträgt 8930,40 km. (Die Erdabplattung wurde dabei nicht berücksichtigt!)

Wie sinnvoll ist es, die Entfernung zwischen Städten auf 10m genau anzugeben? --SirJective 13:08, 15. Dez 2003 (CET)

Es geht ja nur um die genaue Entfernung zwischen den beiden Koordinaten, die in etwa bei Tokio und Berlin liegen. (Den Wert habe ich, so glaube ich damals auch noch gerundet sonst wäre er sicherlich noch genauer (z.B. 8930,398379231... km) -- sk 13:47, 15. Dez 2003 (CET)

Genaue Entfernung in einem ungenauen Modell (ohne Abplattung) für ungenaue Koordinaten... Irgendwann im Physikunterricht hab ich mal gehört, man soll im Ergebnis nicht mehr Genauigkeit angeben als die Eingangsgrößen vorgeben. --SirJective 11:31, 17. Dez 2003 (CET)

Wenn man sagt, dass es eine Orthodrome auf der Kugel ist, dann wäre es wieder genau. Die Koordinaten sind nicht ungenau! Man könnte ja irgendwelche Koordinaten haben. Diese hier liegen halt irgendwo in der Stadt Tokio und Berlin! -- sk 13:24, 17. Dez 2003 (CET)

Einverstanden. Als Entfernung der gegebenen Koordinaten auf der Erdkugel ist die Angabe exakt. Dann sollte der Artikel aber auch dahingehend korrigiert werden. Ich sehe naemlich noch immer nicht ein, dass diese auf zehn Meter genaue Zahl dann die "exakte" Entfernungsangabe zwischen den Staedten sein soll. Ebenso koennte man fragen, was die Entfernung der Erde von der Sonne ist. Selbst wenn man einen bestimmten Zeitpunkt vorgibt, muss man sich aber bei einer auf einen Kilometer genauen Angabe fragen lassen: Zwischen welchen Punkten der Erde und der Sonne wird diese Entfernung angegeben? --SirJective 14:13, 19. Dez 2003 (CET)

Bisher gab es in diesem Artikel nur ein Beispiel ohne allgemeine mathem. Angaben. Man soll aber nicht gleich "mit der Tür ins Haus fallen". Ich habe das inzwichen geändert. Es können aber noch mehr mathem. Angaben gemacht werden. --Bsmuc64 16:46, 17. Jun 2005 (CEST)

Berechnung des Kurswinkels

Wie lautet die Definition von l bei der Berechnung des Kurswinkels?

Welches "l"? --Markus (Mh26) ✉ 21:23, 21. Jul 2005 (CEST)

Beim herumstöbern in den alten Versionen des Artikels ist mir aufgefallen, dass die Formel für die Länge zuerst mit l = arccos… verfasst wurde. Der Winkel $\zeta$ kam erst später als Ersatz. Daraus schließe ich mal messerscharf, dass mit „l“ eben jener Winkel Zeta ($\zeta$) gemeint ist. Eine Proberechnung ergab zumindest das gleiche Ergebnis, wie nach der Kursformel aus dem Mathematik-Duden.

Der Duden gibt vor: $\phi$ für die geografische Breite und $\lambda$ für die Länge. Dort wird auch ein „l“ definiert $l=\lambda _{B}-\lambda _{A}$, das lasse ich mal weg. Die Formel aus dem Duden lautet also

$\cot \alpha ={\frac {-\sin \phi _{A}\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})+\tan \phi _{B}\cos \phi _{A}}{\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}$

Dieses ominöse „l“ aus dem Artikel kann also wahrscheinlich einfach ersetzt werden, wenn man $\alpha _{A}=\arctan \left({\frac {\cos(\delta _{A})\cos(\delta _{B})\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})}{\sin(\delta _{B})-\sin(\delta _{A})\cos(\lambda _{B}-\lambda _{A})}}\right)$ schreiben würde.

Alternativ ginge $\alpha _{A}=\arctan \left({\frac {\cos(\delta _{A})\cos(\delta _{B})\sin(\zeta )}{\sin(\delta _{B})-\sin(\delta _{A})\cos(\zeta )}}\right)$ natürlich auch…

--84.168.82.85 04:31, 19. Mär 2006 (CET)

Ist die Orthodrome nur auf Kugeln beschränkt oder ist es ein anders Wort für Geodätische Linie ? --Langläufer 00:40, 15. Nov 2005 (CET)

Mich hat es etwas irritiert, dass bei der Winkelberechnung einmal 139.767 und einmal 139.77 steht (als ich die Formel implementiert hab und mein Ergebnis leicht abwich).

Entscheidet ihr, ob ich ein Einzelfall bin - wenn nicht sollte das geändert werden.

Horst

Kann mich Markus nur Anschließen l ist einfach nicht definiert, ist das der zurückgelegte Weg? Und in welcher Einheit bitte? Außerdem zu was nimmt der Winkel Bezug, zum Längen- oder zum Breitengrad? Und der arctan liefert nur Werte zw. -Pi/2 und +Pi/2 wie geht man mit den vollen 360° um? Zumal dabei ja der Fall passieren kann das man über -180/+180 Grad Längengrad fliegen kann. Ich bräuchte das ganze für Wikipedia_Diskussion:WikiProjekt_Georeferenzierung#Umkreissuche. Danke. Kolossos 13:45, 5. Jan 2006 (CET)

Rechenfehler ???

wie kommt man bitte in dem Rechenbeispiel von cos(139,767°-13,4°) auf das Ergebnis -0,59296? Ist dort ein Rechenfehler oder kann man mir bitte mal den Rechnweg erklären?! Herzlichen Dank Dirk

Der Kosinus von 126° ergibt nunmal -0.59296. Wahrscheinlich rechnet dein Rechner mit RAD also im Bogenmaß, erst umrechnen. Kolossos 08:44, 6. Mär 2006 (CET)

Ich krieg da -0.58779 raus. (nicht signierter Beitrag von 77.182.238.133 (Diskussion) 22:00, 4. Feb. 2012 (CET))

Kolossos meinte cos 126,367° --Langläufer 00:59, 5. Feb. 2012 (CET)

Berechnung ausgehend von Position (0,0)

Ich habe mich gerade gefragt, wie man eine Position ausgehen von Position Lat=0, Lon=0 berechnen kann. Könnte mir jemand dazu ein Rechenbeispiel für Berlin geben? Schwarzer peter 11:46, 21. Jul 2006 (CEST)

Einfach in dem unteren Beispiel im Artikel statt den Werten für Tokio die Werte 0 und 0 einsetzen. Das sollte doch gehen, oder? Kolossos 17:59, 21. Jul 2006 (CEST)

Klar, als zweite Position schon. Aber wenn man $\Phi _{A}=0$ einsetzt, erhält man eine Division durch 0, da die Formel für <mh>\alatpha</math> ein $\sin {\Phi _{A}}$ im Nenner enthält. Oder bin ich schon wieder auf dem Holzweg? Ich hab mir jetzt einfach so geholfen, dass ich die zweite Position direkt aus den Winkelangaben und dem Erdradius berechne, wenn die erste Position 0°,0° ist. Aber das ist ja dann ein einfacher Dreisatz und keine komplizierte sphärische Berechnung mehr. Schwarzer peter 18:37, 21. Jul 2006 (CEST)

Nein, man erhält keine Division durch Null, du brauchst den Kurswinkel $\alpha$ nicht für die Streckenberechnung, sondern rechnest $\zeta$ aus und multiplizierst mit dem Erdradius. Falls in Grad angegeben, musst du dann noch durch 360° teilen. --Roterraecher 19:17, 21. Jul 2006 (CEST)

Für den Kurswinkel scheinst du mit deinem Problem recht zu haben, aber mach bitte nicht uns für die Tücken der Mathematik verantwortlich. Kolossos 19:41, 21. Jul 2006 (CEST)

Der Kurswinkel ist eben nicht zu berechnen mit (0,0)... ;) --Roterraecher 20:01, 21. Jul 2006 (CEST)

Verantwortlich will ich niemanden machen. Ich hab mich nur einige Zeit damit herumgeschlagen, eine Berechnungsmöglichkeit dafür zu finden. Wär doch gut, wenn andere hier einen Hinweis darauf fänden, oder? Naja, egal. Ist ja jetzt vom Tisch. ;) Schwarzer peter 17:27, 22. Jul 2006 (CEST)

Stimmt die Formel?

LatA radians(48) = 0.83775804096
LonA radians(9) = 0.15707963268
LatB radians(47) = 0.82030474844
LonB radians(9) = 0.15707963268
sphaerDist acos(sin(LatA) * sin(LatB) + cos(LatA) * cos(LatB) * cos(abs(LonB - LonA))) = 0.01745329252
zaehler sin(LatB) - sin(LatA) * cos(sphaerDist) = -0.0116779393
nenner sin(LatA) * sin(sphaerDist) = 0.01296966554
kurswinkel degrees(acos(zaehler / nenner)) = 154.21122798337


Ein kleines Rechenbeispiel mit meinen Koordinaten. Der Einfachheit halber habe ich keine Nachkommastellen genommen. Warum kommt hier kein Winkel von 180° heraus wo ich doch genau ein Grad richtung süden laufe? Das gepostete ist ein log von ABA-X1, also nicht wundern.--Chaosguard 17:57, 11. Aug 2006 (CEST)

In die Formel hatte sich ein Fehler eingeschlichen, wurde behoben --Roterraecher 01:09, 16. Aug 2006 (CEST)

Orthodrome, Kurswinkel, Rechtweisende Kurse

Wenn ich die Berechnung und Benennung der rechtweisenden Kurse richtig verstanden habe, gibt der rechtweisende Kurs A ==> B rwKa den (Abflug)Kurs am Ort A an, rwKb der (Ankunfts)Kurs am Ort B und v.v. die Kurse B. Ich hab mir nun ein kleines Programm für meinen PNA geschrieben, das die Orthodrome aus den gemessenen Koordinaten zweier Punkte berechnet. Dabei ist mir aufgefallen, das - unter obiger Annahme - die Kurswinkelberechnung nur für die ersten beiden Quadranten (also Ziel B östlich von A) ein richtiges Ergebnis liefert. Für Quadrant 3 und 4 gilt rwKa = 2*Pi - Alpha. Hab ich etwas falsch verstanden? Ein kleiner Hinweis zur Berechnung von Zeta. Ich hab in der Schule gelernt (ist schon über ein halbes Jahrhundert her) cos(-x) = cos(x) (zur Betragsbildung im letzten Term) oder ist das heute anders. Gruß Reusel --Reusel 18:07, 18. Aug 2006 (CEST)

Ich nehme an du hast die Vorzeichen der Länge und Breite nicht richtig verwendet (siehe Satz unter der Tabelle), eigentlich müsste die Formel für alle Quadranten gleich sein --Roterraecher 00:58, 19. Aug 2006 (CEST)

Du hast recht (für den Satz unter der Tabelle). Ich bin allerdings Segler und für den gilt rwK = 0 - 360 deg.

Dann kannst du dir als Segler die Formel ja aufteilen :) Mathematiker sind immer um Einheitlichkeit bemüht - was nicht immer zu Benutzerfreundlichkeit führt, wie hier zu sehen :) --Roterraecher 11:55, 19. Aug 2006 (CEST)

Nach meinem kurzen Urlaub komm ich nochmal auf das Thema zurück. Ich bin als Softwerker um unbedingte Exaktheit bemüht, man kann auch sagen pingelig: Der Satz unter der Tabelle bezieht sich nur auf die Koordinaten, außerdem ist es für den errechneten Kurs genau umgekehrt: Im Osten positiv und im Westen negativ. Man sollte es der Exaktheit halber mit aufnehmen.--Reusel 18:58, 25. Aug 2006 (CEST)

Ich denke mal, es ist klar dass sich der Satz auf die Koordinaten bezieht. Errechnete Ergebnisse weisen exakt die gleichen Vorzeichen auf.--Roterraecher 20:26, 25. Aug 2006 (CEST)

Na, wenn Du meinst!--Reusel 16:23, 26. Aug 2006 (CEST)

Also bei mir hatte es jedenfalls funktioniert, sonst nenn doch ein Beispiel --Roterraecher 23:13, 28. Aug 2006 (CEST)

Also, ich glaub, Dukannst Dir garnicht vorstellen wie pingelig ich bin und ich möchte Deine Zeit nicht weiter mit dieser Kleinigkeit in Anspruch nehmen. Aber um die Sache nicht im Raum stehen zu lassen: Wenn ich von mir in Hamburg (54.61526 (°N), -9.91030 (°E)) nach Schloss Gottorf bei Schleswig (54.51179 (°N), -9.54137 (°E)) will, berechnet mein Programm nach der Gleichung einen Kurs von 44.21°, muss aber sein, da Schleswig westlich von Hamburg, -44.21° entsprechend 315.78 rwK. Ist das Ok?

Kann mir bitte jemand erklären, warum die Gradangaben in östlicher Richtung negativ sind? Werden die Längengrade nicht in westlicher Richtung negativ? Im Artikel "Geographische Länge" steht dazu auch kein einziges Wort. Was habe ich übersehen? Danke.

Berlin Tokio

Ich habe bei Luftpiraten.de Großkreisrechner die Koordinaten eingeben und das Ergebnis Kurs= 40.57 Grad bekommen und nach der hier angegebenen Beechnung sind es 80.20 Grad Was ist nun richtig? Berend

ζ = 80,2° ist der Abstand der beiden Punkte als Winkel ausgedrückt. Das hat nichts mit dem Kurswinkel zu tun. Dazu muss man alpha und beta berechnen. Alpha beträgt dann auch 40,57 --Langläufer 07:29, 4. Mai 2010 (CEST)

Bei mir das gleiche Problem.

Mit der Lineal-Funktion von Google Earth und iGCT (ein Geocaching-App für das iPhone) bekomme ich als Ergebnis ca. 42°. (0° = 12 Uhr = Norden, 90° = 3 Uhr = Osten, usw)

Ein anderes Beispiel:

Von 48° 8.000'N 11° 40.500'E (48,133333°N 11,675°E)

nach 48° 8.200'N 11° 40.800'E (48,136667°N 11,68°E)

Winkel Google Earth: 225°

„Berlin-Tokyo-Formel“: 0,004717031094486°

Kann mir bitte jemand den Unterschied zwischen der „Berlin-Tokyo-Formel“ und dem Ergebnis bei Google Earth erklären, bzw. wie ich auf das Google Earth Ergebnis komme?

Dank und Gruß, Sascha (nicht signierter Beitrag von 88.64.82.142 (Diskussion | Beiträge) 22:58, 3. Mai 2010 (CEST))

auch hier: ζ ist nicht der Kurswinkel! --Langläufer 07:29, 4. Mai 2010 (CEST)

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin - Tokio : Bogenmaß oder Gradmaß

Für die Entfernung muss man die gleiche Strecke erhalten, wenn man im Bogenmaß oder im Gradmaß rechnet. Der Unterschied von 6km kommt nur durch Rundungsfehler zustande. Also besser nur ein Ergebnis angeben (8917.4352 km ist korrekt) - sonst entsteht nur Verwirrung.

Kugel und abgeplattete Kugel

Hm, der Artikel ist derzeit ein bisschen Wischiwaschi und unterscheidet nicht, ob es mal um eine Kugel oder mal um einen Ellipsoid geht. --Abdull 22:43, 7. Jun. 2007 (CEST)

Die Orthodrome wird allein über die Kugeloberfläche definiert, das steht doch schon im ersten Satz --Roterraecher ^Diskussion 18:26, 10. Jun. 2007 (CEST)

dann sollte der Teil "genaue Berechnung des Abstandes" an einen anderen Ort verlagert werden. Löschen wäre sehr schlecht, weil ich ihn sehr hilfreich finde - bei Geodäte wäre er aber auch nicht wirklich gut aufgehoben, oder? --Langläufer 19:16, 18. Jun. 2007 (CEST)

Nein, da kanns wohl auch nicht hin. Aber falls jemand tatsächlich genauere Berechnungsformeln hat und einfügen möchte, könnte man ja vorher mal bei der Diskussionsseite von Geodäsie oder im Portal:Geowissenschaften nachhaken. Ist bei Geodäsie nicht vielleicht sowieso schon das wichtigste aufgeführt? --Roterraecher ^Diskussion 12:37, 19. Jun. 2007 (CEST)

"Berechnungsbeispiel Berlin - Tokio" anhand "Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde"

Guten Tag,

ich habe versucht das Rechenbeispiel von "Berechnungsbeispiel Berlin - Tokio" anhand der Formel "Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde" nachzurechnen.

Leider komme ich bei der Formel:

S := sin²(G)cos²(l) + cos²(F)sin²(l)

auf ein anderes Ergebnis.

Sehe ich das richtig das sin²(G) = (sin(G))² ist? Entsprechend auch cos²(l) = (cos(l))²?

Bei mir kommen folgende Ergebnisse heraus: _f: 0,00335281066474748 a: 6378,14 f: 44,10835 g: 8,40835 l: -63,18335 s: 0,753871935491065 c: 0,246128064508935 w: 1,05168013819968 r: 0,409586547590514 d: 13415,5263133138 h1: 0,464716697845804 h2: 1,47820839180049 _s: 13368,3126017686

Vielen Dank.

Ich denke sin²(x) = sin(sin(x)). Das Quadrat steht ja bei der Funktion und nicht beim Argument. So kenne ich das jedenfalls aus dem Grundstudium Mathematik an der Uni. Alex

nein: sin² x = (sin x)² und das ist auch so in der Mathematik --Langläufer 21:26, 18. Dez. 2007 (CET)

ok, dann müssen wir aber etwas aufpassen, denn unter Komposition (Mathematik) (Abschnitt: Potenzen (Iteration)) wird es für eine allgemeine Funktion so beschrieben, wie ich das kenne, also f²(x)=f(f(x)). Wenn das evtl. für die trigonometrischen Funktionen anders gilt, können wir das doch zur Sicherheit dazuschreiben. Implementiere den Algorithmus gerade selbst und bim prompt reingefallen. Alex

ja, diese Schreibweise ist gefährlich (denke da an sin^-1 (x) = arcsin(x) und nicht etwa 1/sin(x)) aber durchaus üblich. --Langläufer 21:56, 18. Dez. 2007 (CET)

Irgendwie scheint diese Berechung doch nicht zu stimmen. Ich habe bis auf die Berechnung der tatsächlichen Strecke, also s (klein) exakt die selben Werte erhalten. Dank eines netten Tabellenkalulationsprogrammes alles kein Problem. Doch dann steigt er in der letzten Zeile aus und das ergebnis ist `massiv` falsch. 1098511189,55=D*(1+(f*h1*POWER(SIN(Fbog);2)*POWER(COS(Gbog);2))-(f*h2*POWER(COS(Fbog);2)*POWER(SIN(Gbog);2))) -7083847798,84 = .....nicht mit Bogenmaßwinkeln gerechnet ..... ? Wo ist nun der Fehler - mein Computer macht nur meine. Ingo

Hallo. Ich habe soeben die Formel wie im Beispiel mit Berlin und Tokio in C geschrieben. Dann habe ich die Einzelergebnisse Schritt für Schritt angeschaut. Nach der Berechnung der Sin und Cos Werte stimmen die meines C-Programms nicht mehr mit denen im Artikel überein. C erwartet Bogenmaßwerte für sin(float x) und cos(float x). Ich habe F, G und l wie beschrieben berechnet. Die Werte im Artikel stehen wohl für die noch nicht "gebogenmaßten" Werte, ich habe dann mit PI/180*... diese drei Werte in Bogenmaß umgerechnet und ab dann stimmen die Zahlen nicht mehr. Ausserdem habe ich noch einen Debug-Versuch gemacht bei dem ich die Werte S und C hardcoded in mein Programm eingesetzt hab. Danach stimmt wieder alles bis zu der Stelle an der ich wieder die Sin und Cos Werte verwende... Ist es möglich noch einmal etwas genauer auf die Sinus und Kosinuswerte einzugehen ? Kann man vielleicht die Wertetabelle noch um ein paar Zwischenergebnisse erweitern ? Das wäre sehr hilfreich ich bekomme nämlich die Zahlen einfach nicht mehr hin! Danke!

Ist doch völlig sinnlos

Die Abplattung der Erde zu berücksichtigen ist doch abwegig, weil so eine kleine Abweichung ohnehin niemand interessiert. Der reale Weg, die Straße, Eisenbahnstrecke und auch die Flugroute weicht ohnehin von diesem theoretischen Wert ab. Bei einer solchen Genauigkeit müsste auch genau angegeben werden von welchem Punkt in Berlin zu welchem Punkt in Tokio die Reise gehen soll. Wenn ich den Effekt der Abplattung grob abschätzen wollte, würde ich sagen, die Strecke zwischen Berlin und Tokio folgt in etwa einem mittleren Breitenkreis, so dass die Strecke minimal länger als in der Kugelnäherung sein sollte. Da der Radius am Äquator etwa 0,33 Prozent größer als der Radius am Pol ist, sollte sich durch diesen Effekt diese Strecke bei etwa 10.000 km um maximal 33 km verlängern. Die angegebenen Formel verstehe ich nicht. Ich kann da vor allem kaum eine Ähnlichkeit zu den Formeln für die Erdkugel erkennen. --88.68.105.57 15:13, 22. Feb. 2009 (CET)

Ziemlich sinnlos aber plausibel

Sorry, aber die Formel ist echt kompliziert und ich habe es (noch) nicht geschafft die zu verstehen. Ich glaube aber, dass sie richtig ist, wenn der passende Winkel mit dem gegebenen Tangenz gewählt wird (eventuell um pi oder 2pi zu korrgieren). Für einige Spezialfälle ergibt sich offensichtlich das richtige Ergebnis. Für f=0 (keine Abplattung), G=0 (gleicher Breitengrad) und l=pi/2 (gebenüber liegender Meridian) lässt sich die Formel stark vereinfachen. Es folgt w = pi/2 - F und F ist der Breitengrad. Der gesamte Winkelabstand ist dann pi-2F. Das stimmt, denn die kürzeste Verbindung geht über den Pol und wäre von Äquator zu Äquator pi oder 180°. Dieser Winkel verkleinert sich um den doppelten Breitengrad. Auch für einige weitere Spezialfälle stimmt die Formel. Bei kleiner Abplattung ergibt sich eine relative Änderung in der Größenordnung der Abplattung, was auch plausibel ist. Die Formel wird also wahrscheinlich stimmen. Für den Spezialfall f=0 und l=0 ergibt sich auch das richtige Ergebnis. Sorry, ich hatte mich da gestern wohl getäuscht. --84.59.55.107 11:24, 24. Feb. 2009 (CET)

so sinnlos ist es nicht. wenn du aus GPS-Koordinaten Strecken berechnen willst, dann mag man das schon mal etwas genauer haben als Entfernungen zwischen Städten. Der Algorithmus ist eine Näherung und funktioniert ausreichend genau um z.B. die Länge eines GPS-Tracks zu ermitteln. --Langläufer 15:52, 24. Feb. 2009 (CET)

Ich denke die Formel für f=0 stimmt bis auf ganze Vielfache der Kreiszahl für den Winkel w. Der Winkel w ist der halbe Winkel zwischen den Ortsvektoren vom Erdmittelpunkt zu den Endpunkten auf der Erdoberfläche. Es gilt sin^2(w) = 1/4 * ( (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 ). Mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, lässt sich dies auch durch die Winkel F,G und l ausdrücken und daraus schließlich der Tangens berechnen. Was allerdings diese wilden Umformungen erbringen sollen bleibt unklar. Weiter oben ist ja bereits eine Formel für den Cosinus des Winkels angegeben. Diese Formel genügt völlig. Die Korrekturen für f > 0 fallen dann vom Himmel. Naheliegend wäre es den Abstand D im dreidimensionalen für zwei Punkte auf dem Ellipsoid zu berechnen und daraus dann den Winkel w als asin(D/2R) mit einem mittleren Radius R zu berechnen.

Raketenabwehr gegen den Iran

Die Frage nach der kürzesten Entfernung auf der Erdkugel ist schon ziemlich verwirrend. Die kürzeste Verbindung verläuft, außer am Äquator, bei gleichem Breitengrad von Start und Ziel nicht entlang dieses Breitengrades. Bei gegenüber liegenden Meridianen, etwa 60° Ost im Osten des Iran verläuft sie sogar senkrecht dazu entlang dieser Meridiane und damit bei 120° West an der Westküste der USA. Diese Route verläuft viele tausend Kilometer östlich an der geplanten Raketenabwehr vorbei. Eine Rakete kann auf einem Großkreis um den Erdmittelpunkt die Erde umkreisen oder auf einer elliptischen Bahn über einem Großkreis den Erdmittelpunkt umrunden. Eine Rakete könnte aber immer die Erde auch in umgekehrte Richtung umkreisen also vom Iran über den Südpol die USA erreichen. Der volle Umlauf dauert bei einer erdnahen Bahn etwa 90 Minuten vergleichbar der Umlaufzeit des Space Shuttle. Offensichtlich ist, dass die Bahn einer Rakete nicht über Polen oder Tschechien verlaufen muss. Offenbar ist es undenkbar mit der geplanten Raketenabwehr einen Schutz der USA gegen Raktenangriffe aus dem Iran zu erreichen. --84.59.42.191 12:21, 24. Feb. 2009 (CET)

Inwiefern trägt das zur Verbesserung des Artikels bei? --Langläufer 15:49, 24. Feb. 2009 (CET)

In den Artikel könnte die Berechnung der ballistischen Bahnen von Raketen und erdnahen Satelliten aufgenommen werden. Die Bahnen von Satelliten verlaufen in der Ebenene eines Großkreises. Dies gilt auch für ballistische Geschosse. Allerdings kann dort ein Teil der gedachten Ellipse im Inneren der Erde verlaufen. Tatsächlich ist die Wurfparabel eines Steins der mit einer Steinschleuder geworfen wird genau genommen Teil einer Ellipse, die am Scheitelpunkt die größte Entfernung zum Erdmittelpunkt erreicht und zum Großteil im Inneren der Erde verläuft. --88.68.114.222 10:29, 25. Feb. 2009 (CET)

Eine Parabel ist mathematisch gesehen nicht "Teil einer Ellipse". Wie der Artikel Wurfparabel sagt, ist die Parabelform streng nur gültig in einem homogenen Schwerefeld. In diesem Fall handelt es sich exakt um eine Parabel und keine Ellipse. Das Schwerefeld der Erde ist aber nicht homogen. Bei "kleinen" Wurfweiten ist es annähernd homogen, so dass die Parabelform eine gute Näherung darstellt. Der Artikel Wurfparabel sagt weiter, dass dann eine ellipsenförmige Kepler-Bahn eine bessere Näherung darstellt, aber eben auch nur eine Näherung. Auch dann haben wir keine exakte Ellipse. --Turdus (Diskussion) 18:26, 1. Feb. 2021 (CET)

Umgekehrte Fragestellung

Gestern hatte ich mir die Frage gestellt, ob eine ballistische Bahn aus dem Iran wirklich Tschechien oder Polen überstreichen muss, um die USA zu erreichen. Die Antwort ist einfach, wenn die Bahn quasi rückwärts über die Südhalbkugel verläuft, geht sie beliebig weit an diesen Abwehrstellungen vorbei. Jetzt stelle ich mal die umgekehrte Frage, ob es überhaupt möglich ist die USA über Tschechien zu erreichen. Wir wissen die Bahn verläuft in einer Ebene, die den Erdmittelpunkt enthält. Die Raketenabwehrstellung, der Startort im Iran und das Ziel in den USA müssen also in dieser Ebene liegen. Ich stelle mir den Globus vor und schneide ihn in Gedanken in zwei gleich große Hälften wobei die Raketenabwehr und der Startort im Iran auf der Schnittfläche liegen. Wo schneidet die Schnittlinie das Gebiet der USA? Ich glaube ganz im Nordwesten, also in Alaska – vielleicht. Kann das mal jemand genauer ausrechnen? --84.59.46.212 11:38, 25. Feb. 2009 (CET)

Diese Überlegungen gelten natürlich nur unter der Annahme, dass die Rakete nach sich nach einer kurzen Startphase ohne Antrieb bewegt. Dies dürfte nicht wirklich zutreffen, weil sonst das Ziel kaum genau getroffen werden kann. Raketen könnten die USA daher im Prinzip aus jeder Richtung erreichen, theoretisch sogar über Polen (auch wenn dies mehr Treibstoff erfordert). Eine an einem Ort, öffentlich bekannt, tausende Kilometer vom Iran entfernt, fest stationierte Abwehr ist daher prinzipiell ungeeignet für ihren vorgeblichen Zweck. --88.68.121.35 10:25, 26. Feb. 2009 (CET)

Tatsächlich verläuft die Bahn eines Körper ohne eigenen Antrieb unter Einfluss der Schwerkraft (annähernd) in einer Ebene, auf der der Erdmittelpunkt liegt. Dies gilt auch dann, wenn die Reibung berücksichtigt wird, da die Reibungskraft entgegen der Bewegungsrichtung gerichtet ist und nicht zum Verlassen der Ebene führen kann. --84.59.235.79 19:03, 27. Feb. 2009 (CET)

Du siehst die Flugbahnen Teheran-USA hier. --Bunkerfunker (Diskussion) 21:48, 3. Sep. 2014 (CEST)

Fast richtig: Die Erde dreht sich während der Flugzeit der Raketen bzw. Sprengköpfe unter ihren Bahnebenen, so daß der Ground track eben keine Orthodrome ist, sondern "gekrümmt" aussieht. --77.6.217.169 03:26, 26. Jan. 2020 (CET)

Korrektur

Nach en:US_missile_defense_complex_in_Poland ist die eigentliche Raketenabwehr in Polen und in Tschechien nur die Radaranlagen zur Ortung. Die vermeintlichen Ziele der Raketen sollen nicht in den USA liegen sondern in Mitteleuropa. Naja, falls etwa Prag oder Warschau das Ziel der Rakete ist, könnte die Rakete vielleicht von dem Abwehrsystem abgeschossen werden. Falls das Zeil Berlin, London, Madrid, Paris, Rom oder Wien lautet, ist die Abwehr aber eindeutig suboptimal, nämlich zu weit nördlich platziert. --88.68.116.1 12:17, 25. Feb. 2009 (CET)

Ziel Mitteleuropa – totaler Bödsinn! Ziel Israel oder Ziel USA wäre aus politischer Sicht eine plausible Annahme. Nur leider ist die Abwehr zu diesem Zweck vollkommen deplatziert. Eine Raketenabwehr in Polen für Mitteleuropa aus dem Iran gibt aber auch kaum einen Sinn. Über konkrete Ziele Berlin, London oder Paris wird ja auch nicht ernsthaft diskutiert. In diesen Städten macht sich auch niemand für die Raketenabwehr zu ihrem Schutz für eine Abwehrstellung in Polen stark. Was die ballistische Bahn einer Rakete betrifft, könnte allenfalls Berlin wirksam aus Polen geschützt werden. --88.68.107.81 12:49, 25. Feb. 2009 (CET)

Kurswinkel berechnen

Auf http://de.wiki.x.io/wiki/Kurswinkel steht: bezeichnet den Winkel zwischen Nordrichtung und Zielrichtung. Er wird immer ausgehend von der Nordrichtung im Uhrzeigersinn angegeben.

Aber wenn ich das Beispiel umdrehe und von Tokio nach Berlin will beträgt der Kurswinkel 29,81 Grad. es müsste laut der Definition oben aber 330,19 Grad sein. ich denke da fehlt eine Überprüfung, wenn λB − λA < 0 ist, ist der Kurswinkel=360-Kurswinkel und bei rwKb genau umgekehrt.

Genaue Formel: Division durch Null bei ζ=180°

Im Artikel steht: "Voraussetzung ist, dass der Abstand zwischen beiden Standorten ausreichend groß ist. Andernfalls kann eine Division durch Null auftreten.". Abgesehen davon passiert das aber auch, wenn der Abstand zu groß ist: Liegen die Punkte genau gegenüber liegen ist natürlich der Großkreis nicht mehr eindeutig gegeben. Einen Abstand haben sie aber ja trotzdem. Und auf dem Ellipsoid müssten sie doch sogar einen eindeutigen kürzesten Abstand haben, oder irre ich mich da gerade? -- Fabian Lenzen 04:12, 27. Jul. 2010 (CEST)

Programmbeispiel in C

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define EARTHRAD    6378.137           /* Erdradius in Kilometern  */
#define EARTHFLAT   1.0/298.257223563  /* Abplattung der Erde      */

/* verhindert Abstürze wenn irrtümlich
 * sqrt von negativer Zahl ermittelt wird
 */

double sqrt_sec(double s)

{
  if (s<1e-35) s=0.0;
  return(sqrt(s));
}

double acos_sec(double s)

{
  if (s<-1.0) s=-1.0;
  if (s>1.0)  s=1.0;
  return(acos(s));
}

/* sing liefert den Sinus
 * eines Winkels x im Gradmaß
 */

double sing(double x)

{
  return(sin(x*M_PI/180.0));
}

/* cosg liefert den Sinus
 * eines Winkels x im Gradmaß
 */

double cosg(double x)

{
  return(cos(x*M_PI/180.0));
}

void gradcheck(double *breite, double *laenge)

{
  if (*breite>90.0)   *breite=90.0;
  if (*breite<-90.0)  *breite=-90.0;
  if (*laenge>180.0)  *laenge=180.0;
  if (*laenge<-180.0) *laenge=-180.0;
}

/*
 * l1 = Längengrad  Ort Eins (Ost ist positiv, West ist negativ)
 * b1 = Breitengrad Ort Eins (Nord ist positiv, Süd ist negativ)
 *
 * l2 = Längengrad  Ort Zwei (Ost ist positiv, West ist negativ)
 * b2 = Breitengrad Ort Zwei (Nord ist positiv, Süd ist negativ)
 *
 * mode  0 = simple Methode (Erde ist "ideale" Kugel)
 * mode !0 = exakte Methode (Erde ist an den Polen abgeplattet)
 *
 * Ergebnis: kürzeste Entfernung der beiden Orte in Kilometern
 *
 */

double orthocomb(double b1, double l1, double b2, double l2, int mode)

{
  double S,C,R,W,H1,H2;
  double sf,cf,sg,cg,sl,cl;

  gradcheck(&b1, &l1);
  gradcheck(&b2, &l2);

  if (b1==b2)
  {
    if (l1==l2 || (fabs(l1)==180.0 && fabs(l2)==180.0) ||
       (b1==90.0 && b2==90.0) || (b1==-90.0  && b2==-90.0)) return(0.0);
  }

  if (!mode)
    return(acos_sec(sing(b1)*sing(b2) + cosg(b1)*cosg(b2)*cosg(l2-l1))*EARTHRAD);

  S=(b1+b2)/2.0; C=(b1-b2)/2.0; R=(l1-l2)/2.0;

  sf=sing(S); cf=cosg(S);
  sg=sing(C); cg=cosg(C);
  sl=sing(R); cl=cosg(R);

  S=sg*sg*cl*cl + cf*cf*sl*sl;
  C=cg*cg*cl*cl + sf*sf*sl*sl;

  W=atan(sqrt_sec(S/C));
  R=sqrt_sec(S*C)/W;
  H1=(3.0*R-1.0)/(2.0*C);
  H2=(3.0*R+1.0)/(2.0*S);

  return(2.0*W*EARTHRAD*(1.0 + EARTHFLAT*(H1*sf*sf*cg*cg - H2*cf*cf*sg*sg)));
}

int main(void)

{
  int i;
  double d;

  printf("\n Entfernung Berlin - Tokio \n");

  for (i=0; i<2; i++)
  {
    d=orthocomb(52.5167, 13.4, 35.7, 139.7667, i);

    if (!i)
      printf("\n Einfacher Wert: %.6f km ",d);
    else
      printf("\n Exakter   Wert: %.6f km ",d);
  }

  printf("\n");
  return(0);
}

Ergebnis:

Entfernung Berlin - Tokio 

Einfacher Wert: 8928.952864 km 
Exakter   Wert: 8941.201228 km 

Der exakte Wert stimmt genau mit dem Beispiel überein.

Das ganze als Windowsprogramm unter http://members.aon.at/fraba/afritz.htm

-- Fraba (20:34, 1. Jun. 2011 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Überschneidung mit Artikel Großkreis

Hallo,

ich bin gerade bei meiner Recherche zu dem Thema darauf gestoßen, das der englische Artikel der hier verlinkt ist tatsächlich nicht zurückverlinkt sondern auf folgenden deuschen Artikel zeigt: http://de.wiki.x.io/wiki/Gro%C3%9Fkreis Nun fühle ich mich momentan nicht qualifiziert genug um zu sagen, ob beides tatsächlich das Selbe ist, vermute aber stark, das zumindest ein Verweis an beiden Stellen auf den jeweils anderen Artikel äußerst sinnvoll wäre.

-- 79.243.92.249 15:12, 20. Sep. 2011 (CEST)

Der zweite Satz lautet: "Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises." --Langläufer 15:27, 20. Sep. 2011 (CEST) Zudem sind alle Verlinkungen i.O. (Großkreis<->great circle und Othodrome<-> great circle distance) --Langläufer 15:31, 20. Sep. 2011 (CEST)

"Hohe Breite"

"Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Wieso hohe Breite?

Die Orthodrome entspricht doch nur ebenfalls der Loxodrome, wenn es sich um eine Reise entlang des Äquators handelt. Je näher man sich also am Äquator befindet, desto geringer ist also die Differenz. Daher müsste es "bei niedriger Breite und Entfernungen..." heißen. Oder hab ich einen Denkfehler? (nicht signierter Beitrag von 79.218.71.109 (Diskussion) 19:25, 31. Jan. 2014 (CET))

Vorschläge für eine professionellere Darstellung

Auch wenn ich mit meinen folgenden Vorschlägen nicht durchdringen sollte, weil sie evtl. als kleinlich und für die Nutzer als unnötig erscheinen könnten, möchte ich vorweg meine Bewunderung für die Verfasser ausdrücken, die sich an das mathematisch schwierige Thema gewagt haben (ich habe nicht die Zeit, die Formeln für das Ellipsoid nachzuprüfen und glaube sie).

Aber vielleicht ist nachvollziehbar, dass ich als promovierter Physiker und Mathematiklehrer, den das Thema seit 1980 interessiert, gerne gewisse darstellerische Schwächen neben kleinen formalen Ungenauigkeiten beseitigt haben möchte - damit ein Vergleich mit früheren Lexika nicht gescheut zu werden braucht.

Mein Vorschlag: unnötige Klammern entfernen. Zwar ist z. B. die Schreibweise (sin(a))^2 korrekt, doch lernt man im 10. Schuljahr, dass sie kürzer sin^2(a) geschrieben wird, wobei in der Darstellung hier nicht wiederzugeben ist, dass der Winkel a nicht eingeklammert werden muss. Das muss er allerdings in Excel-Programmen.

Ebenso müssen bei Excel die Winkel als Argumente von trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß angegeben werden. Das ist aber i. A. (vor allem bei Taschenrechnern) unnötig und für die durchgeführte Rechnung nur für w erforderlich. Für Physiker bedarf das üblicherweise keiner besonderen Erwähnung, da die Dimension (die Einheit, in der das Ergebnis sich ergibt), für den Abstand D = 2 a w statt in einer Längeneinheit wie km in der falschen Einheit km mal Grad herauskäme, wenn w in Grad eingesetzt würde; denn a ist als Erdradius eine Länge.

Apropos Erdradius: Üblicherweise wird er mit R bezeichnet, vor allem in der Astronomie. Deshalb ist die unglückliche Bezeichnung einer Hilfsgröße mit R besser zu vermeiden!

Die "stillschweigende" Gleichsetzung der Indices A = 1 (Berlin) und B = 2 (Tokio) habe ich schon zugunsten von A und B entfernt, da es unnötig wäre, ohne Grund verschiedenartige Indices zu verwenden - entweder konsequent Buchstaben oder Zahlen.

Das Musterbeispiel habe ich auch in einer Excel-Datei programmiert, meine Rechnungen mit einem Taschenrechner wurden bestätigt - sie weichen erst ab der 12. Dezimale ab. Das Ergebnis im Wikipedia-Artikel ist zwar erst ab der 7. Dezimale nicht nur ungenau, sondern "falsch". Denn wenn man zuvor deutlich mehr Dezimalen mitgeschleppt hat (eigentlich unnötigerweise, da der Erdradius a nur auf 7 Dezimalen genau ist), sollte auch das Endergebnis so genau sein wie die Zwischenrechnung. Aber es wurde z. T. mit "nur" 7 Dezimalen für die Erdabplattung und sogar nur 6 für die geografische Breite Berlins gerechnet (laut Auflistung der Daten), obwohl es kein Problem gewesen wäre, auch diese Daten auf 10 TR-Dezimalen "aufzupeppen". Wenn das Ergebnis dann auf 10 Dezimalen angegeben wird, braucht man sich nicht zu wundern, wenn schon die 7. "falsch" ist. Entweder also konsequent durchgängig mit 10 Stellen rechnen oder das Ergebnis entsprechend der geringsten Stellenzahl anzugeben ist sinnvoll, um keine (hier nicht vorhandene) Genauigkeit vorzutäuschen. Dabei ist es im Hinblick auf evtl. später bekannt werdende genauere Angaben des Erdradius durchaus sinnvoll, zunächst so genau wie möglich bis zum Endergebnis zu rechnen, das dann zum Schluss auf die sinnvolle Stellenzahl beschränkt angegeben werden sollte - hier also auf 7 oder höchstens 8.

Wegen meiner Unkenntnis, wie man das hier besser darstellen kann, was mit 1. der Hochstellung von Exponenten bei Schreibprogrammen und 2. einer farblichen Kennzeichnung usw. (nur hier auf der Diskussionsseite zur besseren Illustration der Vorschläge) unter Windows möglich ist, biete ich an, meine ausführliche Darstellung (DOC- oder PDF-Dokument) per E-Mail zur Verfügung zu stellen, sofern jemand die entsprechenden sinnvollen Änderungen vornehmen will. Probeweise habe ich schon mal meine Dokumente DOC und Excel (xls) unten kopiert, die aber wegen der genannten Gründe hier sehr unübersichtlich sind.

Aus Ehrfurcht vor dem bzw. den Verfassern des Artikels will ich das Einarbeiten der Änderungen in den Artikel nicht unbedingt selbst übernehmen, obwohl ich das könnte. Hier folgen nur noch die o. g. Dateien. Wegen der praktischen Unlesbarkeit auch der Excel-Datei bitte ich einen Administrator, hier eine E-Mail-Adresse auf der Diskussionsseite zu nennen, an die die Dateien gesandt werden könnten.

--Dottore E. 13.47 Uhr, 28. Aug. 2015 (MESZ)

Abstandsberechnung auf der Erde Entfernungsberechnung für wichtige Städte

https://de.wiki.x.io/wiki/Orthodrome#Weblinks

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben: zeta = arccos [sin(phiA) sin(phiB) + cos(phiA) cos(phiB) cos(lambdaB - lambdaA)] Dabei bedeuten phi und lambda die geografische Breite bzw. Länge.

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten A und B zu berechnen, muss zeta noch mit dem Erdradius (rund 6.371 km) multipliziert werden (für zeta im Bogenmaß; falls zeta in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit pi / 180° multipliziert werden).

Beispiel: Strecke Berlin (52° 31' 0 N = 52,517°; 13° 24' 0 E = 13,400°)

                         –      Tokio  (35° 42' 0 N = 35,700°; 139° 46' 0 E = 139,767°) 

zeta = arccos [sin 52,517° sin 35,700° + cos 52,517° cos 35,700° cos(139,767° - 13,400°)]

       = arccos [0,7935303882 x 0,5835412114 + 0,6085306261 x 0,8120835269 x (-0,5929505180)]
       = arccos [0,463 057 684 004 467 4 + 0,494 177 697 084 875 918 x (-0,592 ...)]
       = arccos [0,170 034 762 546 319 327]
       = 80,210 159 77° = 1,399 931 382 rad

L = 1,399 931 382 rad x 6.371 km L = 8.918,963 km

Das ist aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur eine Näherung. Die tatsächliche Entfer-nung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km berechnet werden, also mit einer Abweichung von ca. 23 km oder 0,26 %.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 m genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Refe-renzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter a (Radius) und f (Abplattung) angepasst werden.

Der Abstand zwischen beiden Standorten A und B berechnet sich wie folgt: Abplattung der Erde: f = 1 / 298,257 223 563; Äquatorradius der Erde: a = 6.378,137 km Fgrad = (phiA + phiB) / 2, Ggrad = (phiA – phiB) / 2, lgrad = (lambdaA – lambdaB) / 2

Die Parameter müssen in das Bogenmaß umgerechnet werden: Das ist falsch, müssen nicht. Frad = Fgrad x pi / 180°, Grad = Ggrad x pi / 180°, lrad = lgrad x pi / 180° (unnötige Zeile!)

Nun wird der grobe Abstand D ermittelt: S = sin² Grad cos² lrad + cos² Frad sin² lrad ; C = cos² Grad cos² lrad + sin² Frad sin² lrad (Indices weg!) w = arctan [(S/C)1/2]; D = 2 wrad a; dabei ist wrad = wgrad x pi / 180°. w im Bogenmaß erforderlich!

Der Abstand D muss nun durch die Faktoren H1 und H2 korrigiert werden: R = (S C)1/2 / wrad ; H1 = (3R – 1) / (2C) ; H2 = (3R + 1) / (2S) R ist nicht der Erdradius!

Der Abstand s berechnet sich abschließend wie folgt: s = D [1 + f (H1 sin² Frad cos² Grad – H2 cos² Frad sin² Grad)] Indices „rad“ sind besser wegzulassen!

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio

Fgrad = 44,108 333 33°; Ggrad = 8,408 333 333°; lgrad = -63,183 333 33°

       =                             Grad   = 0,146 753 101 271 9 (unnötig!)

S = 0,414 982 618 727; C = 0,585 017 381 273; wrad = 0,699 965 690 768 3 D = 8.928,954 142 km; R = 0,703 918 833 295; H1 = 0,950 190 998 997; H2 = 3,749 261 245 484 s = 8.941,202 505 km Die farbigen Dezimalen von D und s sind bei Wikipedia falsch. (Ende des 1. Dokuments)

Standort auf der geograf. Breite in Grad geograf. Länge in Grad Abstand s in km Abstand s in km Abstand s in km Abplattung f der Erde Erdoberfläche (R = 6.370 km) (R = 6.371 km) (R = 6.378,137 km) 0,00335281066474748 WGD84-Ellipsoid A Berlin 52,516666666666700 13,400000000000000 8.917,562900 8.918,962832 8.941,20250458698 1,399931381536550 0,170034762546320 0,916588745505689 0,233874119767240 B Tokio 35,700000000000000 139,766666666667000 0,623082542961975 2,439388517870740 0,699965690768276 0,414982618726840 0,769835644233832 8.928,9541420394 0,585017381273160 0,146753101271857 -1,102757199051750 0,950190998996960 0,703918833295020 3,749261245485270

Durchführung einer professionelleren Darstellung

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoiden verwendet werden, müssen die Parameter r (Radius) und f (Abplattung) angepasst werden.

Seien $\phi _{A}$ und $\lambda _{A}$ die geografische Breite und Länge von Standort $A$, $\phi _{B}$ und $\lambda _{B}$ die geografische Breite und Länge von Standort $B$ im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: $f={\frac {1}{298{,}257\,223\,563}}$

Äquatorradius der Erde in Kilometern: $r=6378{,}137$

$F_{grad}={\frac {\phi _{A}+\phi _{B}}{2}},G_{grad}={\frac {\phi _{A}-\phi _{B}}{2}},l_{grad}={\frac {\lambda _{A}-\lambda _{B}}{2}}$

Die Parameter können durchaus weiter im Gradmaß verwendet werden, aber auch im Bogenmaß, in das wie folgt umgerechnet wird:

$F_{rad}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot F_{grad},G_{rad}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot G_{grad},l_{rad}={\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot l_{grad}$

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt, wobei die Parameter F, G und l nach Belieben im Grad- oder Bogenmaß eingesetzt werden können:

$S=\sin ^{2}{G}\cdot \cos ^{2}{l}+\cos ^{2}{F}\cdot \sin ^{2}{l}$

$C=\cos ^{2}{G}\cdot \cos ^{2}{l}+\sin ^{2}{F}\cdot \sin ^{2}{l}$

$w=\arctan {\sqrt {\frac {S}{C}}}$

$D=2\cdot w\cdot r$

(Dabei ist $w$ im Bogenmaß einzusetzen.)

Der Abstand $D$ wird durch die Faktoren $H_{1}$ und $H_{2}$ korrigiert:

$T={\frac {\sqrt {S\cdot C}}{w}}$

$H_{1}={\frac {3\cdot T-1}{2\cdot C}}$

$H_{2}={\frac {3\cdot T+1}{2\cdot S}}$

Der Abstand $s$ in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

$s=D\cdot \left(1+f\cdot H_{1}\cdot \sin ^{2}{F}\cdot \cos ^{2}{G}-f\cdot H_{2}\cdot \cos ^{2}{F}\cdot \sin ^{2}{G}\right)$

Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio[Bearbeiten]

${\begin{array}{lcl}\phi _{A}&=&52{,}516666666666667\\\lambda _{A}&=&13{,}400\\\phi _{B}&=&35{,}700\\\lambda _{B}&=&139{,}766666666666667\\\\f&=&0{,}00335281066474748\\r&=&6378{,}137\\F_{grad}&=&44{,}108333333333333\\G_{grad}&=&8{,}408333333333333\\l_{grad}&=&-63{,}183333333333333\\S&=&0{,}41498261872684\\C&=&0{,}58501738127316\\w&=&0{,}699965690768276\\T&=&0{,}70391883329502\\D&=&8928{,}9541420394\\H_{1}&=&0{,}95019099899696\\H_{2}&=&3{,}74926124548527\\\\s&=&8941{,}20250458698\ \mathrm {km} \end{array}}$

Der Abstand $s$ ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

Ich habe mal dafür gesorgt, dass der TeX-Code tatsächlich angezeigt wird, indem ich <math>-Tags darum gesetzt habe. --Digamma (Diskussion) 13:38, 2. Sep. 2015 (CEST)

Hallo Dottore E., ich habe mal ein paar von deinen Vorschlägen umgesetzt. Die Zeilen mit der Umrechnung von Grad- in Bogenmaß habe ich ganz gestrichen und deswegen auch die Indizes "grad" und "rad" entfernt. Außerdem habe ich die Größen mit Einheiten angegeben, also Winkelangaben mit Gradzeichen und Entfernungen mit Einheit km.

Zu den nicht umgesetzten Vorschlägen:

• Ich glaube, dass viele Benutzer mit der Schreibweise $\sin ^{2}\alpha$ nichts anfangen können. Die Schreibweise $(\sin \alpha )^{2}$ ist zwar etwas unübersichtlicher, aber klarer und eindeutiger. Deshalb habe ich es dabei belassen.
• Für den Äquatorradius habe ich die Bezeichnung $a$ gelassen. Diese wird auch im Artikel Erdradius benutzt, weil es sich um die große Halbachse des Ellipsoids (bzw. der es erzeugenden Elllipse) handelt: Äquatorradius $a$, Polradius $b$.

Gruß, --Digamma (Diskussion) 21:08, 7. Sep. 2015 (CEST)

Berechnung der Wegpunkte?

Wie berechnet man die Wegpunkte der Orthodrome zwischen den Punkten A und B? Gibt es da eine einfache Formel f(s), die für ein s=0…1 eben die Wegpunkte von A…B ergibt? --2003:89:E94C:B200:D0DF:7964:5E01:56B0 09:05, 7. Feb. 2016 (CET)

Ergänzung zur Berechnung Kurswinkel $\alpha$

Bei der genannten Formel

$\alpha =\arccos \left({\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos(\zeta )}{\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\zeta )}}\right)$

kommen merkwürdige Werte für den Fall Deutschland - Südamerika raus. Der Winkel ist irgendwo zwischen Ost und Süd, aber nicht zwischen Süd und West.
Korrektur:
Falls

$\sin(\lambda _{B}-\lambda _{A})$ < 0

dann folgende Korrektur durchführen:

$\alpha =2\cdot \pi -\alpha$

2001:7F0:400C:0:0:0:0:5 16:35, 29. Mär. 2019 (CET)

Luftfahrt

Zur Abwechslung mal keine Diskussion über die Formeln.  :-)

In der Einleitung steht: „In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome“ – Nunja, bei Langstreckenflügen (z. B. Europa–USA) orientiert man sich eher an den Jetstreams, um Zeit und Treibstoff zu sparen. Das bringt mehr Nutzen, als entlang der Orthodrome zu fliegen. Siehe auch Jetstream#Luftfahrt. Sollte man das evtl. hier erwähnen? So, wie es jetzt dort steht, ist der Satz eigentlich ungenau, und nur das Wörtchen „meist“ rettet ihn davor, falsch zu sein. Was meint ihr? --Winof (Diskussion) 15:53, 25. Apr. 2019 (CEST)

@Winof: Kann sein, dass der Satz damals von mir stammt. Er soll halt den Lesern einen einfach verständlichen Einstieg ermöglichen. Klar wenn da ein Jetstream, ein Gebirge oder ein Unwetter zu Vor- oder Nachteilen führt, dass dann der Pilot von der Route abweichen kann. -- sk (Diskussion) 13:20, 26. Apr. 2019 (CEST)

Haversine formula

Es fehlt jeglicher Verweis auf en:Haversine formula. --77.6.217.169 03:04, 26. Jan. 2020 (CET)

Jede Menge Fehler in den Formeln für die Kugel

1. Das Ergebnis für den Kurswinkel wird, wenn es östlich der N-S-Linie losgeht, "Nord über Ost" angegeben, ansonsten "Nord über West" (ebenfalls mit positiver Zahl(!) Da ist also ein Vorzeichenfehler drin.
2. Eine Division durch Null taucht auf:
   1. Einer der Punkte liegt auf einem Pol
   2. Die Orthodrome liegt auf dem Äquator
   3. Punkte fallen zusammen oder sind antipod zueinander. Die Orthodrome ist dann undefiniert.
3. Scheitelpunkt:
   1. Ein Nordscheitel existiert nur, wenn $\alpha$ und $\beta$ nördlich der Ost-West-Linie liegen. liegen beide südlich der Ost-West-Linie, so gibt es einen Südscheitel. Liegen die Kurswinkel auf verschiedenen Seiten, dann existiert gar kein Scheitel, denn die Orthodrome umfasst dann weder den nördlichsten, noch den südlichsten Punkt des Großkreises.
   2. Die Formel für die geogr. Länge des Scheitels stimmt so nicht. Sie berechnet stattdessen die Längendifferenz zum Startpunkt.

ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 04:22, 15. Jul. 2023 (CEST)

Zum Punkt 2 (Division durch 0): Wenn einer der Punkte ein Pol ist, kann man dort keinen Kurswinkel definieren. Vom Nordpol aus liegen alle anderen Punkte im Süden. Wenn die Orthodrome auf dem Äquator liegt, gibt es keine Probleme. Man erhält dann wegen $\phi _{A}=\phi _{B}=0$ auch $\cos \alpha =0$, woraus sich $\alpha =90^{\circ }$ (Ostrichtung) oder $\alpha =270^{\circ }$ (Westrichtung) ergibt. Dass die Orthodrome für gleiche oder antipode Punkte nicht definiert ist, steht schon im Artikel. --2001:9E8:B31B:B000:DB:A5BD:4C33:1109 12:04, 13. Aug. 2024 (CEST)

Die Bedingungen müssen aber früh genug erwähnt werden. Ich haba das mal hervorgehoben. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:13, 15. Aug. 2024 (CEST)

Abschnitt zur Loxodrome

da steht sie Loxodrome würde sich eignen... [?] ist doch aber eine Darstellung eines Weges, die entsteht, wenn nach Kompass ein gerader Weg gegangen wird. diesem Abschnitt würde ich interessanter und logischer finden, würde er ethymologisch begonnen und dann anhand der Mercatorkarte erläutert werden, welcher Unterschied zur Orthodrome besteht. daraus ergibt sich dann auch der Untersvhi d in der Navigation.

aber dass sich wie Loxodrome für etwas nicht näher genanntes eigne wäre mir irgendwie neu --79.254.219.180 21:05, 13. Aug. 2023 (CEST)

Weitere Probleme

Die Bezeichnungen sind nicht ganz klar. Mit $\alpha ,\beta$ sind offensichtlich die Innenwinkel des erwähnten Dreiecks (Punkt A - Punkt B - Nordpol) bei A bzw. B gemeint (Bereich 0° bis 180°). $rwK_{A},rwK_{B}$ sollen wohl die Kurswinkel in A bzw. B sein (Bereich 0° bis 360°). Allerdings ist in der Tabelle der Bezeichnungen von Kurswinkeln $\alpha ,\beta$ die Rede.

Des Weiteren sehe ich in der kürzlich hinzugefügten Formelversion mit Halbwinkelsatz keinen Sinn. Man benötigt dazu den halben Umfang des genannten Dreiecks:

$s={\frac {(90^{\circ }-\phi _{A})+(90^{\circ }-\phi _{B})+\zeta }{2}}$

Am Ende muss man den berechneten Winkel ${\frac {\alpha }{2}}$ noch verdoppeln. In meinen Augen ist das unnötig kompliziert.

Auch sollte erklärt werden, was man unter einem rechtsweisenden Kurs versteht. --87.123.137.41 17:01, 13. Aug. 2024 (CEST)

Problematisch ist auch die Signum-Funktion in Zusammenhang mit dem Kurswinkel. Da Kurswinkel üblicherweise zwischen 0° und 360° angegeben werden, müsste man erst zum gleichwertigen Winkel zwischen -180° und +180° übergehen. --87.123.137.41 11:10, 15. Aug. 2024 (CEST)

Die Formeln mit "s" sind in der Tat überflüssig und asuch redundant. Ich habe sie entfernt. Sicherlich muss man Kurswinkel auch "normalisieren". Die Arkusfunktionen können grundsätzlich nur einen Wertebereich von -90° bis 90° (Arkussinus) oder von 0° bis 180° (Arkuskosinus) ergeben. Es ist bei Kurswinkeln immer erforderlich, den Quadranten des Kreises zu beachten und entsprechend umzurechnen. Fehlt alles noch i Artikel. ES wäre wohl gut, nicht alles in eine Formel zu zwingen und stattdessen Fallunterscheidungen vorzunehmen. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:37, 15. Aug. 2024 (CEST)

Die Änderungen vom 15. August halte ich nur teilweise für sinnvoll. Einschränkungen sollten immer im zugehörigen Abschnitt erwähnt werden, nicht vorher und nicht nachher:

• Definition der Orthodrome (nicht definiert für gleiche oder entgegengesetzte Punkte)
• Berechnung Strecke (keine Einschränkung)
• Berechnung Kurswinkel (zusätzliche Einschränkung, wenn Nordpol oder Südpol beteiligt); der gelöschte Satz über Kurswinkel 0° oder 180° hatte schon einen Sinn, beispielsweise ist bei einem Flug von Frankfurt zum Nordpol der Kurswinkel für den Startpunkt 0°, für den Zielpunkt undefiniert.
• Berechnung Scheitelpunkt (zusätzliche Einschränkung, wenn der Scheitelpunkt nicht auf der Orthodrome, sondern auf dem Rest des Großkreises liegt)

Beim Thema "Berechnung des Kurswinkels" schlage ich folgende Umstrukturierung bzw. Umbenennung vor: Winkel $\alpha =\angle BAN,\beta =\angle ABN$ (Innenwinkel des nautischen Dreiecks ABN, wobei N der Nordpol ist; Werte zwischen 0° und 180°); Kurswinkel $\kappa _{A},\kappa _{B}$ (Werte zwischen 0° und 360°, vielleicht auch ein anderer griechischer Buchstabe); Angabe, wie sich $\kappa _{A}$ aus $\alpha$ berechnen lässt (und $\kappa _{B}$ aus $\beta$), abhängig davon, ob Punkt B östlich oder westlich von A liegt. Mit dem Begriff "rechtweisender Kurs" kann ich nichts anfangen. --2001:9E8:B32E:B100:ECDF:B95A:DEFE:8151 10:31, 16. Aug. 2024 (CEST)

Zum dritten deiner vier Punkte:

Dein Beispiel ist nicht geeignet, den von dir behaupteten Sinn zu begründen. Die entsprechende Stelle im gelöschten Satz (sein zweiter Teil) meint nämlich offenbar den Fall Startpunkt = Südpol. Dein Beispiel beschreibt hingegen nur den äußerst trivialen Fall, dass die Orthodrome zufällig mit einem Meridian zusammenfällt. Dabei ist der Kurswinkel natürlich stets 0° (wenn man nicht gerade nach Süden startet – dann halt 180°), unabhängig davon ob der Nordpol das Ziel ist (also auch, wenn er vor oder nach dem Ziel liegt – wenn also weder Start noch Ziel ein Pol ist).--41.66.98.206 14:25, 16. Aug. 2024 (CEST)

Ganz zufällig ist der "äußerst triviale Fall" nicht. Wenn einer der gegebenen Punkte ein Pol ist, ist die Orthodrome zwangsläufig Teil eines Meridians. Im Fall Startpunkt = Südpol ist natürlich der Kurswinkel am Startpunkt undefiniert, da stimme ich mit Dir überein. Der Kurswinkel am Zielpunkt (ungleich Nordpol) ist in diesem Fall 0°. Mir geht es unter anderem darum, dass sauber zwischen Kurswinkel am Startpunkt und Kurswinkel am Zielpunkt unterschieden wird. --87.123.136.199 15:37, 16. Aug. 2024 (CEST)

Du wolltest doch die folgende Version vom 15. 8., 19:40 verteidigen.

Fällt einer der gegebenen Punkte mit dem Nord- oder Südpol zusammen, so ist die entsprechende Gleichung wegen Division durch 0 unbrauchbar. In diesem Fall gilt: Liegt der Endpunkt südlich vom Anfangspunkt, ist der Kurswinkel 180°, liegt er nördlich davon, dann 0°.

Und dort kann sinnvollerweise nur der Fall Startpunkt = Pol gemeint sein (für den du mir ja soeben zugestimmt hast). Denn für alle Punkte während des Fluges (also nach dem Start) ist der Kurswinkel natürlich konstant und trivialerweise gleich 0° oder 180°. Das gilt jedenfalls bis beliebig kurz vor der Ankunft, aber vielleicht nicht mehr für den Zielpunkt selbst als Grenzfall. Dort verliert ja die Definition „Winkel zwischen Nordrichtung und Zielrichtung“ ihren Sinn nicht nur an den Polen (weil dann „Nordrichtung“ nicht mehr definiert ist), sondern auch an anderen Zielpunkten, weil dort „Zielrichtung“ nicht mehr definiert ist (aber als Grenzwert oder stetige Fortsetzung definierbar wäre). Um Letzteres geht es aber m. E. im oben zitierten Textschnippsel gar nicht, sodass es vermutlich gar keine Diskrepanz mehr zwischen unseren Auffassungen gibt. --41.66.98.206 16:25, 16. Aug. 2024 (CEST)

Es kann auch Zielpunkt = Pol gemeint sein. Ansonsten sehe ich auch keine Diskrepanz mehr. Dass der zitierte Satz nicht so bleiben kann, ist mir klar. --2001:9E8:B32E:B100:B0EA:3184:C2F4:14D 16:53, 16. Aug. 2024 (CEST)

Ich habe im Grunde ja nur Antonsusis Änderung dieses Absatzes auf die vorhergehende Version zurückgesetzt. Dass diese auch verbessert werden kann, ist mir klar. --41.66.98.206 18:46, 16. Aug. 2024 (CEST)

Wenn du den Satz schlecht findest, dann ersetze ihn durch einen besseren. Kurswinkel sind in Polnähe sowieso unbrauchbar. Befindest du dich 100 Meter vom exakt gemessenen Südpol entfernt, dann ist 90° (Osten) ein Kreis mit 100 Meter Radius. Stehst du nur ein infinitesimales Stück oder wenigstens einen Meter vom Pol weg, dann hast du bereits zwei Schenkel und damit einen Winkel. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 10:52, 17. Aug. 2024 (CEST)

Vorschlag nördlichster/südlichster Punkt

Ob eine Orthodrome zwischen den Grenzpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt (Scheitelpunkt) hat, hängt vom Kurswinkel am Anfangspunkt ($\alpha _{A}$) und am Endpunkt ($\alpha _{B}$) ab.

Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich $0^{\circ }<\alpha _{A}<90^{\circ }$ und $90^{\circ }<\alpha _{B}<180^{\circ }$ oder zugleich $270^{\circ }<\alpha _{A}<360^{\circ }$ und $180^{\circ }<\alpha _{B}<270^{\circ }$ gilt. Man erhält unter dieser Voraussetzung:

$\phi _{N}=\arccos \left(|\sin(\alpha _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)$

$\lambda _{N}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\alpha _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{N})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\alpha _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.$

Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich $90^{\circ }<\alpha _{A}<180^{\circ }$ und $0^{\circ }<\alpha _{B}<90^{\circ }$ oder zugleich $180^{\circ }<\alpha _{A}<270^{\circ }$ und $270^{\circ }<\alpha _{B}<360^{\circ }$ gilt. In diesem Fall ergibt sich:

$\phi _{S}=-\arccos \left(|\sin(\alpha _{A})|\cdot \cos(\phi _{A})\right)$

$\lambda _{S}=\left\{{\begin{array}{ll}\lambda _{A}+\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\alpha _{A}<180^{\circ }\\\lambda _{A}-\arccos \left({\frac {\tan(\phi _{A})}{\tan(\phi _{S})}}\right),&{\mbox{falls}}\;\alpha _{A}>180^{\circ }\end{array}}\right.$

Wegen der Festlegung $-180^{\circ }\leq \lambda \leq +180^{\circ }$ müssen die Ergebnisse für $\lambda _{N}$ und $\lambda _{S}$ unter Umständen korrigiert werden: Bei Werten über $180^{\circ }$ muss $360^{\circ }$ subtrahiert werden, bei Werten unter $-180^{\circ }$ muss $360^{\circ }$ addiert werden.

[Ende des Vorschlags]

Bemerkungen:

• Die Betragsstriche bei $\sin \alpha _{A}$ müssen außerhalb stehen. Betragsstriche um $\alpha _{A}$ wären wirkungslos, da Kurswinkel nie negativ sind.
• Die Betragsstriche um den Arkuskosinus-Ausdruck sind unnötig, weil $\arccos$ nie einen negativen Wert hat.
• Etwas irritierend finde ich, dass in diesem Artikel trigonometrische Werte manchmal mit Klammern und manchmal ohne Klammern geschrieben werden. Ich wäre für die Schreibweise ohne Klammern, also z.B. $\sin \alpha _{A}$.

--2001:9E8:B30A:3100:6085:A1FC:773D:15BD 09:56, 17. Aug. 2024 (CEST)

Wenn es stimmt, dann kann es hinein. Wichtig ist:

• Ein Nordscheitel existiert, wenn die Kurswinkel für A zw. Norden und Osten und für B zwischen Westen und Norden oder für A zwischen Westen und Norden und für B zw. Norden und Osten liegt. Ein Azimut - Der Artikel ist zirmlich grottig - also zw. 0° und 90° und der andere zw. 270° und 360°.
• Ein Südscheitel existiert, wenn der Kurswinkel für A zw. Osten und Süden und für B zwischen Süden und Westen oder für A zwischen Süden und Westen und für B zw. Osten und Süden liegt. Ein Azimut also zw. 90° und 180° und der andere zw. 180° und 270°.

ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 20:40, 17. Aug. 2024 (CEST)

Korrektur:

• Nordscheitel 1. Fall, typisches Beispiel Frankfurt -> Tokio: Beim Start Flug etwa nach NO (Kurswinkel zwischen 0° und 90°), am Ende Flug etwa nach SO (Kurswinkel zwischen 90° und 180°)
• Nordscheitel 2. Fall, typisches Beispiel Tokio -> Frankfurt: Beim Start Flug etwa nach NW (Kurswinkel zwischen 270° und 360°), am Ende Flug etwa nach SW (Kurswinkel zwischen 180° und 270°)
• Südscheitel 1. Fall, typisches Beispiel Buenos Aires -> Kapstadt: Beim Start Flug etwa nach SO (Kurswinkel zwischen 90° und 180°), am Ende Flug etwa nach NO (Kurswinkel zwischen 0° und 90°)
• Südscheitel 2. Fall, typisches Beispiel Kapstadt -> Buenos Aires: Beim Start Flug etwa nach SW (Kurswinkel zwischen 180° und 270°), am Ende Flug etwa nach NW (Kurswinkel zwischen 270° und 360°)

--2001:9E8:B327:7E00:F9F3:9DB8:F41B:C4F4 09:53, 18. Aug. 2024 (CEST)

Das ist eine Frage des Bezugssystems. Vom Flugzeug aus betrachtet (Richtung, in die das flugzeug zuletzt fliegt) hast du recht. Vom Boden aus betrachtet (richtung, aus der das Flugzeug kommt) ist meine Angabe richtig. Das Bezugssystem muss also auch erwähnt werden. (nicht signierter Beitrag von Antonsusi (Diskussion | Beiträge) 16:00, 18. Aug. 2024 (CEST))

Nein: Der Kurswinkel gibt (auch vom Boden aus betrachtet) die Richtung an, in die das Flugzeug fliegt. --92.117.211.105 17:04, 18. Aug. 2024 (CEST)

Wie auch immer. Testen wir die Formeln doch mal an der Strecke von Quito (UIO) nach Kuala Lumpur (KUL). ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:39, 18. Aug. 2024 (CEST)

Ich komme auf folgende Zahlen:

Quito (UIO): $\lambda _{A}=-78{,}366^{\circ };\;\phi _{A}=-0{,}136^{\circ }$

Kuala Lumpur (KUL): $\lambda _{B}=101{,}710^{\circ };\;\phi _{B}=2{,}746^{\circ }$

Strecke (als Winkel): $\zeta =177{,}389^{\circ }$

Kurswinkel Start: $\alpha _{A}=358{,}33^{\circ }$

Kurswinkel Ziel: $\alpha _{B}=181{,}668^{\circ }$

Nordscheitel: $\lambda _{N}=-168{,}370^{\circ };\;\phi _{N}=88{,}333^{\circ }$ (nahe Nordpol) --87.123.138.40 09:25, 19. Aug. 2024 (CEST)

Fein. Das passt zu dem Online-Tool, dass ich benutzt habe... Was machen wir mit dem Fall, dass

wir bei Stert vom Nordpol keinen Kurswinkel haben, am Ziel - Südpol ausgenommen, aber sehr wohl? Der Flieger fliegt ja auf dem Längengrad des Ziels genau nach Süden, also 180°. Gibt es für diese Grenzwertbildung (Wert gegen 180°) eine offizielle Regelung? ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 19:57, 19. Aug. 2024 (CEST)

Ob es da eine offizielle Regelung gibt, kann ich leider nicht beantworten (Ich bin zwar einigermaßen vertraut mit sphärischer Trigonometrie, aber nicht mit dem Thema Navigation.). Es spricht aber einiges dafür, die Pole nicht auszuschließen (weder als Startpunkt noch als Endpunkt), sondern dort den geeigneten Wert (0° bzw. 180°) zu nehmen. Definiert man den Kurswinkel über die Bewegungsrichtung, dann ist er streng genommen im Startpunkt und im Zielpunkt nicht definiert, da es dort keine Bewegung gibt. Die Grenzwerte sind aber sehr wohl definiert. Eine andere Definition stammt aus der Bronstein-Ausgabe von 1995 in meinem Bücherschrank. Dort wird der Kurswinkel, wenn auch etwas unklar, als Winkel zwischen zwei orientierten Großkreisen eingeführt. Aus dieser Definition ergeben sich jeweils Werte von 0° oder 180°.

Ein anderes Problem müsste dringend gelöst werden, nämlich die Bezeichnung des Kurswinkels. Die bisherige Bezeichnung $\alpha _{A}$ bzw. $\alpha _{B}$ erscheint mir nicht sehr glücklich. Sie ist auch nicht konsistent zum Abschnitt "Kurswinkel". In der Tabelle der Bezeichnungen ist von Kurswinkeln $\alpha$ und $\beta$ die Rede. Ich habe aber den dringenden Verdacht, dass mit $\alpha$ und $\beta$ ursprünglich Innenwinkel des Dreiecks mit den Ecken A, B und Nordpol gemeint waren (also Winkel zwischen 0° und 180°). Im Artikel Kurswinkel wird die Bezeichnung $\omega$ verwendet. Damit könnte ich gut leben, die Bezeichnungen wären dann $\omega _{A}$ und $\omega _{B}$. --2001:9E8:B31F:2D00:8B9:FE9A:60F3:D4F 09:49, 20. Aug. 2024 (CEST)

Vorschlag Kurswinkel und rechtweisende Kurse

Der Kurswinkel (das Azimut) gibt die Bewegungsrichtung an und wird ab Nordrichtung im Uhrzeigersinn gezählt. Zur Berechnung kann man für die nicht-trivialen Fälle das oben erwähnte Dreieck verwenden. $\alpha$ und $\beta$ seien die Innenwinkel dieses Dreiecks bei A bzw. B (mit $0^{\circ }<\alpha ,\beta <180^{\circ }$). Sie können z. B. mithilfe des Seiten-Kosinussatzes berechnet werden.

$\cos \alpha ={\frac {\sin(\phi _{B})-\sin(\phi _{A})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{A})\cdot \sin \zeta }}$

$\cos \beta ={\frac {\sin(\phi _{A})-\sin(\phi _{B})\cdot \cos \zeta }{\cos(\phi _{B})\cdot \sin \zeta }}$

Fällt einer der gegebenen Punkte mit dem Nord- oder Südpol zusammen, so ist die entsprechende Gleichung wegen Division durch 0 unbrauchbar.

Die beiden Parameter $\alpha$ und $\beta$ lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden $\phi _{A}$ bzw. $\phi _{B}$ und $\lambda _{A}$ bzw. $\lambda _{B}$ bestimmen:

$\cos \alpha ={\frac {\cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}$

$\cos \beta ={\frac {\cos(\phi _{B})\cdot \sin(\phi _{A})-\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B})}{\sqrt {1-(\cos(\lambda _{A}-\lambda _{B})\cdot \cos(\phi _{A})\cdot \cos(\phi _{B})+\sin(\phi _{A})\cdot \sin(\phi _{B}))^{2}}}}$

Kurswinkel

Für die Kurswinkel $\omega _{A}$ (am Anfangspunkt) und $\omega _{B}$ (am Endpunkt) gilt $0^{\circ }\leq \omega _{A},\omega _{B}<360^{\circ }$. Es ergibt sich:

Voraussetzung	Kurswinkel bei A	Kurswinkel bei B
B östlich von A	$\omega _{A}=\alpha$	$\omega _{B}=180^{\circ }-\beta$
B westlich von A	$\omega _{A}=360^{\circ }-\alpha$	$\omega _{B}=180^{\circ }+\beta$
Gleicher Meridian, B nördlich von A	$\omega _{A}=0^{\circ }$	$\omega _{B}=0^{\circ }$
Gleicher Meridian, B südlich von A	$\omega _{A}=180^{\circ }$	$\omega _{B}=180^{\circ }$

Rechtweisende Kurse A → B (Hinweg)

$rwK_{A}=\omega _{A}$

$rwK_{B}=\omega _{B}$

Rechtweisende Kurse B → A (Rückweg)

$rwK_{B}'=\omega _{B}\pm 180^{\circ }$

$rwK_{A}'=\omega _{A}\pm 180^{\circ }$

Das Rechenzeichen ($+$ oder $-$) ist hier so zu wählen, dass $0^{\circ }\leq rwK_{B}',rwK_{A}'<360^{\circ }$ erfüllt ist.

[Ende des Vorschlags]

Bemerkung: Hier werden die Kurswinkel mit $\omega _{A},\omega _{B}$ bezeichnet. Natürlich sollte in diesem Abschnitt und im nächsten Abschnitt (Nördlichster/südlichster Punkt) die gleiche Bezeichnung verwendet werden.

--2001:9E8:B31A:DC00:1C01:8EDE:CB0B:4D93 19:25, 22. Aug. 2024 (CEST)

Zwei Gründe sprechen meiner Meinung nach für eine solche Umformulierung:

• Klärung, was die Winkelbezeichnungen bedeuten und welche Werte die Winkel annehmen können
• Einbeziehung von Sonderfällen (siehe Debatte zur Qualitätsicherung): Punkte A und B auf dem gleichen Meridian, Punkt A bzw. B gleich Nord- oder Südpol

--2001:9E8:B338:700:F587:B252:8511:7635 09:35, 23. Aug. 2024 (CEST)

Bilder

Das Bild zur gnomonischen Projektion passt wohl eher in den allgemeinen Teil des Artikels, nicht zur Berechnung des nördlichsten bzw. südlichsten Punktes. Beim Abschnitt über Kurswinkel halte ich das Bild Datei:Grootcirkelnavigatie.svg für geeignet. Allerdings müssten die Bezeichnungen angepasst werden. --2001:9E8:B30C:800:10E4:632:6214:BA68 10:59, 26. Aug. 2024 (CEST)